(2007•長沙)如圖,平行四邊形ABCD中,AB=4,BC=3,∠BAD=120°,E為BC上一動點(不與B重合),作EF⊥AB于F,F(xiàn)E,DC的延長線交于點G,設(shè)BE=x,△DEF的面積為S.
(1)求證:△BEF∽△CEG;
(2)求用x表示S的函數(shù)表達式,并寫出x的取值范圍;
(3)當E運動到何處時,S有最大值,最大值為多少?

【答案】分析:(1)因為∠B=∠GCE,∠BEF=∠GEC,所以△BEF∽△CEG;
(2)在平行四邊形ABCD中,因為∠BAD=120°所以∠B=60°=∠ECG,又BE=x,EC=3-x,所以EF、CG可利用三角函數(shù)求出,即在△EFG中,邊和邊上的高就為已知,從而求出解析式;
(3)在(2)的基礎(chǔ)上,尋求函數(shù)的最大值.
解答:(1)證明:∵AB∥GD,
∴∠B=∠GCE,
又∵∠BEF=∠GEC,
∴△BEF∽△CEG.

(2)解:由(1)DG為△DEF中EF邊上的高,
在Rt△BFE中,∠B=60°,EF=BEsinB=x,(4分)
在Rt△CEG中,CE=3-x,CG=(3-x)cos60°=
∴DG=DC+CG=,(5分)
∴S=EF•DG=-x2+x,(6分)
其中0<x≤3.(7分)

(3)解:∵a=-,對稱軸x=,
∴當0<x≤3時,S隨x的增大而增大,
∴當x=3,即E與C重合時,S有最大值.(9分)
S最大=3.(10分)
點評:此題考查內(nèi)容較為豐富,既有平行四邊形又有三角函數(shù),難易程度適中.
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