Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xoy中，以原點為圓心的⊙O的半徑是

4

5

5

，過A（0，4）作⊙O的切線交x軸于點B，T是切點，拋物線y=ax²+bx+c的頂點為C（3，-

1

2

），且拋物線過A、B兩點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）如果此拋物線的對稱軸交x軸于D點，問在y軸的負(fù)半軸上是否存在點P，使△BCD∽△OPB？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可根據(jù)C點的坐標(biāo)，用頂點式二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線的解析式，然后將A點坐標(biāo)代入求解即可．
（2）先根據(jù)拋物線的解析式求出B點的坐標(biāo)，然后可分兩種情況討論：
①當(dāng)△BCD∽△BPO，那么

CD

OP

=

OD

OB

；②當(dāng)△BCD∽△PBO，則有

BD

OP

=

CD

OB

；
根據(jù)上述兩種情況中不同的對應(yīng)成比例線段可求出不同的符合條件的P點坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-3）²-

1

2

，
已知拋物線過A點，則有：
a（0-3）²-

1

2

=4，
解得a=

1

2

此拋物線的解析式為：y=

1

2

（x-3）²-

1

2

（2）∵B（2，0）；C（3，-

1

2

）；D（3，0）
∴BD=1，CD=

1

2

，OB=2
∵要使△BCD∽△OPB
∴只需

BD

OB

=

CD

OP

或

BD

OP

=

CD

OB

即：

1

2

=

1 2

OP

或

1

OP

=

1 2

2

解得：OP=

1

4

或4
∴P（0，-

1

4

）或（0，-4）．
故：在y軸的負(fù)半軸上是否存在點P（0，-

1

4

）或（0，-4），使△BCD∽△OPB．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點．（2）題要根據(jù)相似三角形的對應(yīng)線段的不同分類進(jìn)行求解，不要漏解．