Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A，它的對稱軸x＝2與x軸交于點(diǎn)C，直線y＝－2x－1經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)B(－2，m)，且與y軸、直線x＝2分別交于點(diǎn)D、E．

(1)求m的值及該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求證：①CB＝CE；②D是BE的中點(diǎn)；

(3)若P(x，y)是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得PB＝PE，若存在，試求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵點(diǎn)B(－2，m)在直線y＝－2x－1上， 　　∴m＝－2×(－2)－1＝3．∴B(－2，3) 　　∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)A，對稱軸為x＝2， 　　∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，0)． 　　設(shè)所求的拋物線對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為y＝a(x－0)(x－4) 　　將點(diǎn)B(－2，3)代入上式，得3＝a(－2－0)(－2－4)，∴． 　　∴所求的拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，即． 　　(2)①直線y＝－2x－1與y軸、直線x＝2的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為D(0，－1)、E(2，－5)． 　　過點(diǎn)B作BG∥x軸，與y軸交于F、直線x＝2交于G， 　　則BG⊥直線x＝2，BG＝4． 　　在Rt△BGC中，BC＝． 　　∵CE＝5，∴CB＝CE＝5． 　�、谶^點(diǎn)E作EH∥x軸，交y軸于H， 　　則點(diǎn)H的坐標(biāo)為H(0，－5)． 　　又點(diǎn)F、D的坐標(biāo)為F(0，3)、D(0，－1)， 　　∴FD＝DH＝4，BF＝EH＝2，∠BFD＝∠EHD＝90°． 　　∴△DFB≌△DHE(SAS)， 　　∴BD＝DE． 　　即D是BE的中點(diǎn)． 　　(3)存在． 　　由于PB＝PE，∴點(diǎn)P在直線CD上， 　　∴符合條件的點(diǎn)P是直線CD與該拋物線的交點(diǎn)． 　　設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b． 　　將D(0，－1)C(2，0)代入，得．解得． 　　∴直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝x－1． 　　∵動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，)， 　　∴x－1＝．解得，．∴，．∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或(，)．(14分) 　　(注：用其它方法求解參照以上標(biāo)準(zhǔn)給分．)