Question

【題目】如圖，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，

且DM交AC于F，ME交BC于G．

（1）寫(xiě)出圖中三對(duì)相似三角形，并證明其中的一對(duì)；

（2）連結(jié)FG，如果α＝45°，AB＝，AF＝3，求FG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM（寫(xiě)出兩對(duì)即可）（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知條件，∠DME=∠A=∠B=α，結(jié)合圖形上的公共角，即可推出△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，AMF∽△BGM；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，推出BG的長(zhǎng)度，依據(jù)銳角三角函數(shù)推出AC的長(zhǎng)度，即可求出CG、CF的長(zhǎng)度，繼而推出FG的長(zhǎng)度．

試題解析：（1）△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM（寫(xiě)出兩對(duì)即可）

以下證明△AMF∽△BGM．

∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B

∴△AMF∽△BGM．

（2）連接FG，

當(dāng)α＝45°時(shí)，可得AC⊥BC且AC＝BC

∵M為AB的中點(diǎn)，

∴AM＝BM＝

又∵AMF∽△BGM，

∴

∴

又，

∴，

∴