Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O為BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)E在AB邊上移動，動點(diǎn)F在AC邊上移動．
（1）點(diǎn)E，F(xiàn)的移動過程中，△OEF是否能成為∠EOF=45°的等腰三角形？若能，求BE的長；若不能，請說明理由；
（2）當(dāng)∠EOF=45°時，設(shè)BE=x，CF=y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)OE=EF時；②當(dāng)OF=EF時；③當(dāng)OE=OF時；
（2）本題可通過圖中的相似三角形BEO和CFO，可得出關(guān)于BO，OC，OE，OF的比例關(guān)系式，由于OB=OC=

2

，由此可得出關(guān)于y，x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）點(diǎn)E，F(xiàn)移動的過程中，△OEF能成為∠EOF=45°的等腰三角形，
①當(dāng)OE=EF時，∠OEF是直角，F(xiàn)，A重合，OE是三角形ABC的中位線，E是AB中點(diǎn)，此時BE=1；
②當(dāng)OF=EF時，∠OFE是直角，與①同理，E，A重合，F(xiàn)是AC中點(diǎn)，此時BE=2；
③當(dāng)OE=OF時，如果連接OA，那么OA必然平分∠BAC，

∴BO=CO，∠B=∠C=45°，EO=FO，
由∠EOF=45°，由對稱性得到∠AOE=∠AOF=22.5°，
∴∠EOB=∠FOC=67.5°，
又∵BO=CO，∠B=∠C=45°，
∴△BEO≌△CFO（ASA），
又∵∠BEO=∠BOE=∠COF=∠CFO=67.5°，
∴BE=BO=CO=CF=

1

2

BC，
∵AB=AC=2，
∴BC=2

2

，由此可得出BE=CF=

2

；

（2）在△OEB和△FOC中，
∵∠EOB+∠FOC=135°，∠EOB+∠OEB=135°，
∴∠FOC=∠OEB，
又∵∠B=∠C，
∴△OEB∽△FOC，
∴

BE

CO

=

BO

CF

，
∵BE=x，CF=y，OB=OC=

1

2

22+22

=

2

，
∴

x

2

=

2

y

，
則y=

2

x

（1≤x≤2）．

點(diǎn)評：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定等知識點(diǎn)，通過相似三角形得出角相等或邊成比例是解題的關(guān)鍵．