如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,現(xiàn)將△ABC沿射線BC的方向平移a(a<5)個(gè)單位得到△DEF.
(1)求EF的長(zhǎng)度;
(2)當(dāng)a=3時(shí),連接AE、BD,試判斷AE、BD之間的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)探究:當(dāng)a為何值時(shí),△ADE是等腰三角形.
分析:(1)在直角三角形中,利用勾股定理即可求出;
(2)連接AD,首先判斷四邊形ABED是平行四邊形,再根據(jù)AB=BE,即可判定四邊形ABED是菱形,根據(jù)菱形的性質(zhì),判斷AE、BD之間的位置關(guān)系;
(3)此小題需要分三種情況進(jìn)行討論,①當(dāng)a=AD=DE=3時(shí),△ADE是等腰三角形;②當(dāng)AE=DE=3時(shí),△ADE是等腰三角形;③當(dāng)AE=AD時(shí),△ADE是等腰三角形;求出三種情況下的a的值即可.
解答:解:(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,
∴BC=
AB2+AC2
=
32+42
=5,
∴EF=BC=5.

(2)AE、BD之間的位置關(guān)系是垂直且平分.
理由是:
連接AD.
∵AB∥DE,AD∥BE,
∴四邊形ABED是平行四邊形,
又∵AB=BE=3,
∴四邊形ABED是菱形,
∴AE、BD垂直且平分.

(3)分三種情況討論:
①如圖1,當(dāng)a=AD=DE=3時(shí),△ADE是等腰三角形;
②如圖2,當(dāng)AE=DE=3時(shí),△ADE是等腰三角形.
作EM⊥AD,垂足為M,則有:
AM=
1
2
AD=
1
2
a,
在Rt△AEM中,由勾股定理得:
AE2=AM2+EM2,
即:32=2.42+(
1
2
a)2
解得a=3.6.
③方法一:
當(dāng)a=2.5時(shí),△ADE是等腰三角形.
∵當(dāng)a=2.5時(shí),BE=CE=2.5,
∵∠BAC=90°,
∴AE=
1
2
BC=2.5,
又∵AD=a,
∴AE=AD=2.5,
即當(dāng)a=AE=AD=2.5時(shí),△ADE是等腰三角形;
綜上所述,當(dāng)a=3或3.6或2.5時(shí),△ADE是等腰三角形.
方法二:
如圖3,當(dāng)AE=AD時(shí),△ADE是等腰三角形.
設(shè)Rt△ABC中BC邊上的高為h,則有:
1
2
×3×4=
1
2
×5×h,解得h=2.4.
由已知可得:AC⊥DE,設(shè)垂足為點(diǎn)P,
∵AE=DE,
∴DP=EP=
1
2
DE=1.5,
∵SABED=BE×h=DE×AP,
即:2.4a=3AP,解得AP=0.8a,
在Rt△AEP中,∠APE=90°,
∴AE2=PE2+AP2,即:a2=1.52+(0.8a)2,解得:a=2.5,
即當(dāng)a=AE=AD=2.5時(shí),△ADE是等腰三角形;
綜上所述,當(dāng)a=3或3.6或2.5時(shí),△ADE是等腰三角形.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查幾何變換綜合題,解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平移知識(shí),平行四邊形的判定、菱形的性質(zhì)及運(yùn)用分類思想解決問(wèn)題的方法,此題難度較大,特別是第三問(wèn)a不止一個(gè)數(shù)值,同學(xué)們解答的時(shí)候一定要細(xì)心.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•莆田質(zhì)檢)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AB上一點(diǎn),以AE為直徑的⊙O過(guò)點(diǎn)D,且交AC于點(diǎn)F.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若CD=6,AC=8,求AE.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,AD和BD分別是∠BAC和∠ABC的平分線,它們相交于點(diǎn)D,求點(diǎn)D到BC的距離.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,將三角板中一個(gè)30°角的頂點(diǎn)D放在AB邊上移動(dòng),使這個(gè)30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC、BC相交于點(diǎn)E、F,且使DE始終與AB垂直.
(1)畫出符合條件的圖形.連接EF后,寫出與△ABC一定相似的三角形;
(2)設(shè)AD=x,CF=y.求y與x之間函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;
(3)如果△CEF與△DEF相似,求AD的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,BD⊥AC,sinA=
3
5
,則cos∠CBD的值是(  )

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,D、E分別為邊AB、BC的中點(diǎn),連接DE,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線AD-DE-EB運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)B停止.點(diǎn)P在AD上以
5
cm/s的速度運(yùn)動(dòng),在折線DE-EB上以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q,以PQ為邊作正方形PQMN,使點(diǎn)M落在線段AC上.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).
(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段DP的長(zhǎng)為
(t-2)
(t-2)
cm,(用含t的代數(shù)式表示).
(2)當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí),求t的值.
(3)當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時(shí),設(shè)五邊形的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

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