精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
已知:如圖,在⊙O中,弦AB=AC,過B任作一條弦BE,以A為圓心,AB為半徑畫弧交BE的延長線精英家教網于F,連接AF交⊙O于D,連CD交AE于G;
(1)求證:AE平分∠CAD;
(2)求證:AE2=EF2+AC•AD.
分析:(1)圓心角及圓周角的關系是求證AE平分∠CAD的關鍵;
(2)欲證明AE2=EF2+AC•AD,可以轉化到相關的圖形中;先證明△ADE∽△DGE,EF=DE,得出EF2=AE2-AE•AG;再證明△ADE∽△AGC,得出AC•AD=AE•AG,從而得證.
解答:精英家教網證明:(1)∵∠EAC=∠EBC,∠EBC=
1
2
∠CAF,
∴∠EAC=
1
2
∠CAF;
∴AE平分∠CAD.

(2)連接DE、CE;
∵∠EAC=∠CDE,∠EAC=∠DAE,
∴∠DAE=∠GDE;
∵∠ADE=∠DEG,
∴△ADE∽△DGE;
AE
DE
=
DE
GE
;
∴AE•EG=DE2
∵∠EDF=∠ACE,∠ACE=∠AFB,
∴∠EDF=∠AFB;
∴EF=DE;
∴AE•EG=EF2
∵EG=AE-AG,
∴AE•EG=AE•(AE-EG)=AE2-AE•AG=EF2
∵∠AED=∠ACD,∠EAC=∠EAF,
∴△ADE∽△AGC;
∴AC•AD=AE•AG;
∴AE2-AC•AD=EF2;
即AE2=EF2+AC•AD.
點評:本題考查了圓周角定理及相似三角形的判定和性質,是一道較難的題目.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

24、已知:如圖,在?ABCD中,對角線AC交BD于點O,四邊形AODE是平行四邊形.求證:四邊形ABOE、四邊形DCOE都是平行四邊形.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

21、已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,點D,E在邊BC上,且BD=CE.
(1)找出圖中所有的互相全等的三角形;
(2)求證:∠ADE=AED.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

(1)計算:(
2
-1)-1+
8
-6sin45°+(-1)2011

(2)先化簡,再求值:
x2-2xy+y2
x2-xy
÷(
x
y
-
y
x
)
,其中x=
2
-1,y=1

(3)如圖,已知:如圖,在?ABCD中,BE=DF.求證:△ABE≌△CDF.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

已知,如圖,在△ABC中,AB=AC,點P是△ABC的中線AD上的任意一點(不與點A重合.將線段AP繞點A逆時針旋轉到AQ,使∠PAQ=∠BAC,連接BP,CQ
(1)求證:BP=CQ.
(2)設直線BP與直線CQ相交于點E,∠BAC=α,∠BEC=β,
①若點P在線段AD上移動(不與點A重合),則“α與β之間有怎樣的數量關系?并說明理由.
②若點P在直線AD上移動(不與點A重合).則α與β之間有怎樣的數量關系?請直接寫出你的結論.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

(2012•密云縣一模)已知:如圖,在△ABC中,∠A=∠B=30°,D是AB 邊上一點,以AD為直徑作⊙O恰過點C.
(1)求證:BC所在直線是⊙O的切線;
(2)若AD=2
3
,求弦AC的長.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案