Question

如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0），且頂點(diǎn)B（m，6）在直線y=2x上．
（1）求m的值和拋物線y=ax²+bx的解析式；
（2）如在線段OB上有一點(diǎn)C，滿足OC=2CB，在x軸上有一點(diǎn)D（10，0），連接DC，且直線DC與y軸交于點(diǎn)E．
①求直線DC的解析式；
②如點(diǎn)M是直線DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)有另一點(diǎn)N，且以O(shè)、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．（直接寫(xiě)出結(jié)果，不需要過(guò)程．）

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)拋物線y=ax²+bx的頂點(diǎn)B（m，6）在直線y=2x上可求出m的值，再用待定系數(shù)發(fā)即可求出此拋物線的解析式；
（2）①作CH⊥OA，BG⊥OA，再根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得出CH的長(zhǎng)，進(jìn)而求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)D點(diǎn)坐標(biāo)用待定系數(shù)法即可求出直線DC解析式；
②根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求出符合條件的N點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵頂點(diǎn)B（m，6）在直線y=2x，
∴m=3，（1分）
∴B（3，6），把AB兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式得，

36a+6b=0 9a+3b=6

，解得

a=- 2 3 b=4

，
∴拋物線：y=-

2

3

x²+4x；（3分）

（2）①如圖1，作CH⊥OA，BG⊥OA，
∴CH∥BG，
∴

CH

BG

=

OC

OB

，
∵OC=2CB，
∴

CH

6

=

2

3

，CH=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4）（2分）
∵D（10，0）根據(jù)題意

2k+b=4 10k+b=0

，解得：

k=- 1 2 b=5

，
∴直線DC解析式y(tǒng)=-

1

2

x+5；（2分）

②如圖2：∵四邊形ENOM是菱形，
∴OS=ES=

1

2

OE=

5

2

，
∴NK=

5

2

，
∵ON∥DE，
∴tan∠NOK=tan∠EDO=

EO

OD

=

MK

OK

=

1

2

，
∴OK=5，
∴N₁（-5，

5

2

），
如圖3：∵EM⊥OB，
∴ON=2OC，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4），
∴N₂（4，8）；
③如圖4：
∵直線DC解析式y(tǒng)=-

1

2

x+5，
∴E（0，5），
設(shè)M（x，-

1

2

x+5），
∵四邊形ENOM是菱形，
∴EM=OE=5，即x²+（-

1

2

x）²=25，解得x=2

5

，
∴M（-2

5

，5+

5

），
∴可設(shè)N（-2

5

，y），則|5+

5

-y|=5，解得y=

5

或y=10+

5

（舍去）
∴N₃（-2

5

，

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式、菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．