Question

如圖，點(diǎn)A在x軸上，OA=6，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求經(jīng)過(guò)A、O、B的拋物線的解析式；

（3）在此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形的面積是9？若存在，求出過(guò)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

　

　

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得OB=OA=6，∠BOC=120°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得BC，OC的長(zhǎng)；

（2）根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可得拋物線的解析式，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；

（3）根據(jù)三角形的面積，可得P到BC的距離為3，根據(jù)平行線間的距離相等，可得平行OB且到OB的距離等于3的兩條直線，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得P點(diǎn)坐標(biāo)．

【解答】解：（1）如圖1：

由OA=6，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置，得

OB=OA=6，∠BOC=120°．

∠BOC=120°﹣90°=30°

∴BC=OB=3，

OC=3，

∴B（﹣3，﹣3）

（2）因?yàn)閽佄锞�與x軸交于O、A（6，0），

設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x﹣6），把點(diǎn)B（﹣3，﹣3）代入得﹣3a（﹣3﹣6）=﹣3，

解得：a=﹣．

所以拋物線的解析式為y=﹣x（x﹣6）=﹣x²+x．

（3）答：符合條件的點(diǎn)P存在

設(shè)直線OB的解析式為：y=kx，

把點(diǎn)了B（﹣3，﹣3）代入解得：k=

∴直線OB的解析式為：y=x，

∵S_△BOP=9，

∴點(diǎn)P到OB的距離是：（9×2）÷6=3

如圖2：

設(shè)點(diǎn)E到OB的距離EF=3，

∵∠BOE=30°，

∴OE=2EF=6

∴到直線OB的距離為3的直線解析式分別是：y=x﹣6 或y=x+6

拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=×6=3，

∴把x=3分別代入y=x﹣6、y=x+6得y ₁=3﹣6，y ₂=3+6，

即符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是：P₁（3，3﹣6），P₂（3，3+6）．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)；（2）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是設(shè)出與X軸交點(diǎn)的解析式；（3）利用平行線間的距離相等得出平行OB且到OB的距離等于3的兩條直線是解題關(guān)鍵．