Question

已知矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F是對角線BD上的兩點，且BF=DE．
（1）按邊分類，△AOB是______三角形；
（2）猜想線段AE、CF的大小關系，并證明你的猜想．

Answer 1

解：（1）等腰；
理由：由于矩形的對角線相等且互相平分，所以OA=OB，即△AOB是等腰三角形．

（2）猜想：AE=CF；
證法一：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵DE=BF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴AE=CF．
證法二：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵DE=BF，∴OE=OF，
又∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE=CF．
證法三：如圖，連接AF、CE，
由四邊形ABCD是矩形得OA=OC，OB=OD，
∵DE=BF，∴OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AE=CF．
分析：（1）由于矩形的對角線相等且互相平分，可得OA=OB，因此從邊的角度來看，△AOB是等腰三角形．
（2）此題的證法較多，以兩種常見的證法為例：由矩形的性質，易得到OA=OC，OB=OC，進而可得到OF=OE，然后：
①通過證△AOE≌△COF來得到AE=CF；
②根據(jù)AC、EF互相平分判定四邊形AFCE是平行四邊形，從而得到AE=CF的結論．
點評：此題主要考查的是矩形的性質以及全等三角形的判定和性質，難度不大．