Question

如圖，在矩形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，若tan∠AEH=

4

3

，四邊形EFGH的周長(zhǎng)為60cm，則矩形ABCD的周長(zhǎng)為

 

cm．

Answer 1

分析：首先利用三角形的中位線定理證明EH=

1

2

BD，F(xiàn)G=

1

2

BD，EF=

1

2

AC，HG=

1

2

AC，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得到；AC=BD，從而得到四邊形EFGH是菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)求出菱形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而得到：AE，AH的長(zhǎng)度，從而得到答案．

解答：解；∵連接AC，BD，
∵E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴EH=

1

2

BD，F(xiàn)G=

1

2

BD，EF=

1

2

AC，HG=

1

2

AC，
∵ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH是菱形，
∵四邊形EFGH的周長(zhǎng)為60cm，
∴EH=15，
∵tan∠AEH=

4

3

，
∴AH=12，AE=9，
∴AD=24，AB=18．
∴矩形ABCD的周長(zhǎng)為：（24+18）×2=84cm．
故答案為：84．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形中位線定理，矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件證出四邊形EFGH是菱形，得到EH的長(zhǎng)度．