Question

（2007•江西）如圖，在正六邊形ABCDEF中，對角線AE與BF相交于點M，BD與CE相交于點N．
（1）觀察圖形，寫出圖中兩個不同形狀的特殊四邊形；
（2）選擇（1）中的一個結論加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）圖中的特殊四邊形比較多，容易找出，矩形BCEF，菱形BNEM，直角梯形BDEM，AENB；根據正六邊形的性質容易證明；
（2）∠BEF是直角，從而證明AE∥BD，BF∥CE，這樣以上的特殊四邊形就都可以證明了．
解答：解：（1）矩形ABDE，矩形BCEF；或菱形BNEM；或直角梯形BDEM，AENB等．（4分）

（2）選擇ABDE是矩形．
證明：
∵ABCDEF是正六邊形，
∴∠AFE=∠FAB=120°，
∵AF=EF，
∴∠EAF=30°，
∴∠EAB=∠FAB-∠FAE=90度．（5分）
同理可證∠ABD=∠BDE=90度．
∴四邊形ABDE是矩形．（7分）
選擇四邊形BNEM是菱形．
證明：同理可證：∠FBC=∠ECB=90°，∠EAB=∠ABD=90°，
∴BM∥NE，BN∥ME．∴四邊形BNEM是平行四邊形．
∵BC=DE，∠CBD=∠DEN=30°，∠BNC=∠END，
∴△BCN≌△EDN．∴BN=NE．
∴四邊形BNEM是菱形．（7分）
選擇四邊形BCEM是直角梯形．
證明：同理可證：BM∥CE，∠FBC=90°，又由BC與ME不平行，
得四邊形BCEM是直角梯形．
點評：此題主要考查了正六邊形的性質，矩形，菱形，梯形的性質與判定．