【題目】定義:底與腰的比是的等腰三角形叫做黃金等腰三角形.
如圖,已知△ABC中,AC=BC,∠C=36°,BA1平分∠ABC交AC于A1

(1)證明:AB2=AA1AC;
(2)探究:△ABC是否為黃金等腰三角形?請(qǐng)說(shuō)明理由;(提示:此處不妨設(shè)AC=1)
(3)應(yīng)用:已知AC=a,作A1B1∥AB交BC于B1 , B1A2平分∠A1B1C交AC于A2 , 作A2B2∥AB交B2 , B2A3平分∠A2B2C交AC于A3 , 作A3B3∥AB交BC于B3 , …,依此規(guī)律操作下去,用含a,n的代數(shù)式表示An﹣1An . (n為大于1的整數(shù),直接回答,不必說(shuō)明理由)

【答案】
(1)

證明:∵AC=BC,∠C=36°,

∴∠A=∠ABC=72°,

∵BA1平分∠ABC,

∴∠ABA1=∠ABC=36°,

∴∠C=∠ABA1,

又∵∠A=∠A,

∴△ABC∽△AA1B,

=,即AB2=AA1AC;


(2)

解:△ABC是黃金等腰三角形,

理由:由(1)知,AB2=ACAA1,

設(shè)AC=1,

∴AB2=AA1,

又由(1)可得:AB=A1B,

∵∠A1BC=∠C=36°,

∴A1B=A1C,

∴AB=A1C,

∴AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=1﹣AB,

∴AB2=1﹣AB,

設(shè)AB=x,即x2=1﹣x,

∴x2+x﹣1=0,

解得:x1=,x2=(不合題意舍去),

∴AB=,

又∵AC=1,

=,

∴△ABC是黃金等腰三角形;


(3)

解:由(2)得;當(dāng)AC=a,則AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=a﹣AB=a﹣a=a,

同理可得:A1A2=A1C﹣A1B1=AC﹣AA1﹣A1B1

=a﹣a﹣A1C

=a﹣a﹣[a﹣a]

=a.

故An1An=a.


【解析】

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A.②
B.①②
C.①②③
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初步思考我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為:在ABCDEF中,AC=DF,BC=EF,,然后,對(duì)進(jìn)行分類,可分為是直角,鈍角,銳角三種情況進(jìn)行探索.

深入探究)(1)當(dāng)是直角時(shí),如圖①,在ABCDEF中,AC=DF,BC=EF,,根據(jù) 可以知道.

(2)當(dāng)是鈍角時(shí),如圖②,在ABCDEF中,AC=DF,BC=EF,,且都是鈍角,求證:.

(3)當(dāng)是銳角時(shí),在ABCDEF中,AC=DF,BC=EF,,且都是銳角,請(qǐng)你用尺規(guī)在圖③中作出DEF,使DEFABC不全等(不寫(xiě)做法,保留作圖痕跡)

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其中正確的結(jié)論是
A.①②③
B.①②④
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