Question

在平面直角坐標系內，反比例函數(shù)和二次函數(shù)y=k（x²+x-1）的圖象交于點A（1，k）和點B（-1，-k）．
（1）當k=-2時，求反比例函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的圖象的頂點；
（2）要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當k=-2時，A（1，-2），
∵A在反比例函數(shù)圖象上，
∴設反比例函數(shù)的解析式為：．
將A（1，-2）代入得：，
解得：m=-2．
∴反比例函數(shù)的解析式為：；
當k=-2時，y=k（x²+x-1）=-2（x²+x-1）=-2（x²+x-1）=-2（x+0.5）²+2.5，
∴二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為（-0.5，2.5）；

（2）∵要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，
∴k＜0．
∵二次函數(shù)y=k（x²+x-1）=，
∴對稱軸為：直線x=-．
要使二次函數(shù)y=k（x²+x-1）滿足上述條件，在k＜0的情況下，x必須在對稱軸的左邊，即x＜-時，才能使得y隨著x的增大而增大．
綜上所述，k＜0且x＜-．
分析：（1）當k=-2時，即可求得點A的坐標，然后設反比例函數(shù)的解析式為：y=，利用待定系數(shù)法即可求得答案，將k=-2代入y=k（x²+x-1），運用配方法寫成頂點式，即可求出二次函數(shù)的圖象的頂點；
（2）由反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，可得k＜0，又由二次函數(shù)y=k（x²+x-1）的對稱軸為x=-，可得x＜-時，才能使得y隨著x的增大而增大
點評：此題考查了二次函數(shù)的性質、反比例函數(shù)的性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，注意掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，注意數(shù)形結合思想的應用．