精英家教網(wǎng)如圖,二次函數(shù)y=x2+px+q(p<0)的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C(0,-1),△ABC的面積為
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(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)過y軸上的一點M(0,m)作y軸的垂線,若該垂線與△ABC的外接圓有公共點,求m的取值范圍;
(3)在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點D,使四邊形ACBD為直角梯形?若存在,求出點D的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)由△ABC的面積為
5
4
,可得AB×OC=
5
2
,又二次函數(shù)y=x2+px+q(p<0)的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C(0,-1)可求得該二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)根據(jù)直線與圓的位置的位置關(guān)系確定m的取值范圍.
(3)四邊形ABCD為直角梯形,要分類討論,即究竟那條邊為底.可以分別以AC、BC為底進行討論.
解答:解:(1)∵OC=1,
∴q=-1,
∵△ABC的面積為
5
4

1
2
OC×AB=
5
4
,
解得AB=
5
2
,
設(shè)A(a,0),B(b,0),
則a、b是一元二次方程x2+px-1=0兩個根,
∴a+b=-p,ab=-1,
∴AB=b-a=
(a+b)2-4ab
=
5
2
,
解得p=±
3
2

又∵p<0,
∴p=-
3
2

所以解析式為:y=x2-
3
2
x-1;

(2)令y=0,
解方程得x2-
3
2
x-1=0,
得x1=-
1
2
,x2=2,
所以A(-
1
2
,0),B(2,0),
在直角三角形AOC中可求得AC=
5
2
,同樣可求得BC=
5
,
顯然AC2+BC2=AB2,得三角形ABC是直角三角形.AB為斜邊,
所以外接圓的直徑為AB=
5
2
,
所以-
5
4
≤m≤
5
4

精英家教網(wǎng)
(3)存在,AC⊥BC,
①若以AC為底邊,則BD∥AC,易求AC的解析式為y=-2x-1,
可設(shè)BD的解析式為y=-2x+b,
把B(2,0)代入得BD解析式為y=-2x+4,
解方程組
y=x2-
3
2
x-1
y=-2x+4

得D(-
5
2
,9)
②若以BC為底邊,則BC∥AD,易求BC的解析式為y=0.5x-1,
可設(shè)AD的解析式為y=0.5x+b,把A(-
1
2
,0)代入
得AD解析式為y=0.5x+0.25,
解方程組
y=x2-
3
2
x-1
y=0.5x+0.25

得D(
5
2
,
3
2

綜上,所以存在兩點:(-
5
2
,9)或(
5
2
,
3
2
).
點評:本題綜合考查了二次函數(shù)的有關(guān)知識以及直線與圓的關(guān)系,范圍較廣,難度較大.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D(0,
7
9
3
),且頂點C的橫坐標為4,該圖象在x軸上截得的線段AB的長為6.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)在該拋物線的對稱軸上找一點P,使PA+PD最小,求出點P的坐標;
(3)在拋物線上是否存在點Q,使△QAB與△ABC相似?如果存在,求出點Q的坐標;如果不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,二次函數(shù)圖象的頂點為坐標原點O,且經(jīng)過點A(3,3),一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A和點B(6,0).
(1)求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;
(2)如果一次函數(shù)圖象與y相交于點C,點D在線段AC上,與y軸平行的直線DE與二次函數(shù)圖象相交于點E,∠CDO=∠OED,求點D的坐標.
精英家教網(wǎng)

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精英家教網(wǎng)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于B、C兩點,與y軸交于點A(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,求這個二次函數(shù)解析式.

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某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品,年初上市后,公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程,如圖的二次函數(shù)圖象(部分)刻畫了該公司年初以來累積利潤s(萬元)與時間t(月)之間的關(guān)系(即前t個月的利潤總和s與t之間的關(guān)系).根據(jù)圖象提供的信息,解答下列問題:
(1)求累積利潤s(萬元)與時間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求截止到幾月末公司累積利潤可達30萬元;
(3)從第幾個月起公司開始盈利?該月公司所獲利潤是多少萬元?

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如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于兩個點,根據(jù)圖象回答:(1)b
0(填“>”、“<”、“=”);
(2)當x滿足
x<-4或x>2
x<-4或x>2
時,ax2+bx+c>0;
(3)當x滿足
x<-1
x<-1
時,ax2+bx+c的值隨x增大而減小.

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