Question

矩形ABCD的邊長AB=6，BC=4，點(diǎn)F在DC上，DF=2．動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)D、B同時(shí)出發(fā)，沿線段DA、線段BA向點(diǎn)A的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，M、N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．連接FM、FN．設(shè)點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)速度都是1個(gè)單位/秒，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，問：當(dāng)x為多少時(shí)，F(xiàn)M⊥FN？

Answer 1

分析：首先構(gòu)造直角三角形，用x表示出各部分的長度，再結(jié)合勾股定理求出x的值．

解答：解：連接MN，做NP⊥DC，
當(dāng)FM⊥FN時(shí)，即△MFN為直角三角形，
∴FM²+FN²=MN²，
∵M(jìn)N²=AM²+AN²，
DM²+DF²=FM²，PF²+PN²=FN²，
又∵設(shè)點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)速度都是1個(gè)單位/秒，矩形ABCD的邊長AB=6，BC=4，DF=2，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，DM=x，AM=4-x，AN=6-x，PN=4，PF=6-2-x，
∴DM²+DF²+PF²+PN²=AM²+AN²，
∴x²+4+（4-x）²+16=（4-x）²+（6-x）²，
解得：x=

4

3

，
∴當(dāng)x為

4

3

時(shí)FM⊥FN．

點(diǎn)評：此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，以及動(dòng)點(diǎn)問題，解決問題的關(guān)鍵是得出個(gè)部分線段的長度．