Question

（2013•新民市一模）已知：如圖，拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，-4）與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CQ．當(dāng)△CQE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）若平行于x軸的動(dòng)直線l與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）．問(wèn)：是否存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）若點(diǎn)M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是直線y=x上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出以點(diǎn)M、N、C、O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)N的相應(yīng)坐標(biāo)．（不需寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A、C代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（m，0），過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于G，令y=0求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再表示出BQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)△EBQ和△BAC相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列式表示出EG，再根據(jù)S_△CQE=S_△BCQ-S_△BEQ列式整理即可得解，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答；
（3）分①DO=DF時(shí)，先求出∠OAC=45°，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠DFA=45°，然后求出∠ADF=90°，從而得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)P、F的縱坐標(biāo)相同，利用二次函數(shù)解析式求解；②DF=OF時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于H，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得OH=

1

2

OD=1，再求出HF=AH，然后寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P、F的縱坐標(biāo)相同，利用二次函數(shù)解析式求解；③OD=OF時(shí)，先求出點(diǎn)O到AC的距離，根據(jù)垂線段最短判斷出此時(shí)不存在直線l，使△ODF為等腰三角形；
（4）根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)判斷出直線AC與直線y=x平行，點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，然后根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等求出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，然后利用直線求出縱坐標(biāo)即可得解；再根據(jù)拋物線與直線解析式表示出MN，然后根據(jù)MN與OC相等列出方程求解即可．

解答：解：（1）由題意得，

16a-8a+c=0 c=-4

，
解得

a= 1 2 c=-4

，
所以，拋物線的解析式為y=

1

2

x²-x-4；

（2）設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（m，0），過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于G，
由

1

2

x²-x-4=0，得x₁=-2，x₂=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，0），
∴AB=4-（-2）=6，BQ=m-（-2）=m+2，
∵QE∥AC，
∴△EBQ∽△BAC，
∴

EG

CO

=

BQ

BA

，
即

EG

4

=

m+2

6

，
解得EG=

2m+4

3

，
S_△CQE=S_△BCQ-S_△BEQ，
=

1

2

BQ•CO-

1

2

BQ•EG，
=

1

2

（m+2）×4-

1

2

（m+2）×

2m+4

3

，
=-

1

3

m²+

2

3

m+

8

3

，
=-

1

3

（m-1）²+3，
又∵-2≤m≤4，
∴m=1時(shí)，△CQE的面積最大，最大值是3，此時(shí)點(diǎn)Q（1，0）；

（3）存在．
①DO=DF時(shí)，∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2，
又∵在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°，
此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，-2），
∵直線l平行于x軸，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-2，
∴

1

2

x²-x-4=-2，
解得x₁=1+

5

，x₂=1-

5

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+

5

，-2）或（1-

5

，-2）；
②DF=OF時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于H，由等腰三角形的性質(zhì)得，OH=

1

2

OD=1，
∴AH=4-1=3，
∴在等腰直角△AHF中，HF=AH=3，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，-3），
∵直線l平行于x軸，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-3，
∴

1

2

x²-x-4=-3，
解得x₁=1+

3

，x₂=1-

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+

3

，-3）或（1-

3

，-3）；
③OD=OF時(shí)，∵OA=OC=4，∠AOC=90°，
∴AC=

42+42

=4

2

，
∴點(diǎn)O到AC的距離為

4×4

4 2

=2

2

，
∵OF=OD=2＜2

2

，
∴此時(shí)，不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，
綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1+

5

，-2）或（1-

5

，-2）或（1+

3

，-3）或（1-

3

，-3）；

（4）∵A（4，0），C（0，-4），
∴直線AC與x軸的夾角為45°，
∴直線AC與直線y=x平行，
①點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，ON與CM是對(duì)應(yīng)邊，
此時(shí)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)是4或-4，
又∵點(diǎn)N在直線y=x上，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，4）或（-4，-4），
②點(diǎn)M與點(diǎn)A不重合時(shí)，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，m），
∵M(jìn)N與OC是對(duì)邊，
∴MN=OC，
∴|

1

2

m²-m-4-m|=4，
∴

1

2

m²-m-4-m=4或

1

2

m²-m-4-m=-4，
整理得，m²-4m-16=0或m²-4m=0，
解得m₁=2+2

5

，m₂=2-2

5

，m₃=4（M與A重合，舍去），m₄=0（M與C重合，舍去），
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2+2

5

，2+2

5

）或（2-2

5

，2-2

5

），
綜上所述，存在點(diǎn)N（2+2

5

，2+2

5

）或（2-2

5

，2-2

5

）或（4，4）或（-4，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，（2）利用所求三角形的面積等于兩個(gè)三角形的面積的差求解是解題的關(guān)鍵；（3）難點(diǎn)在于根據(jù)等腰三角形的腰的不同分情況討論，（4）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等分情況列出方程是解題的關(guān)鍵．