Question

如圖,點(diǎn)A、E,是半圓周上的三等分點(diǎn),直徑=2,,垂足為,連接交于,過(guò)作∥交于．

（1）判斷直線與⊙的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由．
（2）求線段的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）直線AG與⊙O的位置關(guān)系是AG與⊙O相切,理由見解析;（2）AF的長(zhǎng)是．

試題分析:（1）求出弧AB=弧AE=弧EC,推出OA⊥BE,根據(jù)AG∥BE,推出OA⊥AG,根據(jù)切線的判定即可得出答案;
（2）求出等邊三角形AOB,求出BD、AD長(zhǎng),求出∠EBC=30°,在△FBD中,通過(guò)解直角三角形求出DF即可．
試題解析:（1）直線AG與⊙O的位置關(guān)系是AG與⊙O相切,
理由是:連接OA,

∵點(diǎn)A,E是半圓周上的三等分點(diǎn),
∴弧AB=弧AE=弧EC,
∴點(diǎn)A是弧BE的中點(diǎn),
∴OA⊥BE,
又∵AG∥BE,
∴OA⊥AG,
∴AG與⊙O相切;
（2）∵點(diǎn)A,E是半圓周上的三等分點(diǎn),
∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°,
又∵OA=OB,
∴△ABO為正三角形,
又∵AD⊥OB,OB=1,
∴BD=OD=,AD=,
又∵∠EBC=∠EOC=30°（圓周角定理:一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半）,
在Rt△FBD中,FD=BD•tan∠EBC=BD•tan30°=×=,
∴AF=AD﹣DF=﹣=．
答:AF的長(zhǎng)是．
考點(diǎn):1.切線的判定,2.等邊三角形的判定與性質(zhì),3.垂徑定理．