Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD邊上一點(diǎn)，且不與點(diǎn)D重合，AF=a，
（1）判斷四邊形BCEF的面積是否存在最大或者最小值？若存在，求出來；若不存在，說明理由；
（2）若∠BFE=∠FBC，求tan∠AFB的值；
（3）在（2）的條件下，若將“E是CD的中點(diǎn)”改為“CE=k•DE”，其中k為正整數(shù)，其他條件不變，請直接寫出tan∠AFB的值（用k的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：（1）由于S_{四邊形BCEF}=S_{正方形ABCD}-S_△ABF-S_△DEF，用含a的代數(shù)式表示S_{四邊形BCEF}=12-a，而0≤a＜4，即S_{四邊形BCEF}存在最大值12，S_{四邊形BCEF}不存在最小值；
（2）延長BC，F(xiàn)E交于點(diǎn)P，構(gòu)造等腰三角形PEB，利用正方形的性質(zhì)和中點(diǎn)的性質(zhì)求得PB的長后，由勾股定理求得a的值．則可求出AB，AF的值．再用tan∠AFB=

AB

AF

；求得tan∠AFB的值；
（3）用（2）的方法求得tan∠AFB的值．

解答：解：（1）如圖，連接BE，
S_{四邊形BCEF}=S_{正方形ABCD}-S_△ABF-S_△DEF=4²-

1

2

×4×a-

1

2

×2×（4-a）=12-a，
∵F為AD邊上一點(diǎn)，且不與點(diǎn)D重合，
∴0≤a＜4，
∴當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，a=0，S_{四邊形BCEF}存在最大值12．
S_{四邊形BCEF}不存在最小值．

（2）如圖，延長BC，F(xiàn)E交于點(diǎn)P，
∵正方形ABCD，
∴AD∥BC．
∴△DEF∽△CEP．
∵E為CD的中點(diǎn)，
∴

EF

EP

=

DE

CE

=1，PF=2EF．
∵∠BFE=∠FBC，
∴PB=PF．
∵AF=a，
∴PC=DF=4-a，PB=PF=8-a，
EF=

PF

2

=

8-a

2

．
∵Rt△DEF中，EF²=DE²+DF²，
∴(

8-a

2

)2=2²+（4-a）²整理，得3a²-16a+16=0，
解得，a₁=

4

3

，a₂=4；
∵F點(diǎn)不與D點(diǎn)重合，
∴a=4不成立，a=

4

3

，tan∠AFB=

AB

AF

=3．

（3）延長BC，F(xiàn)E交于點(diǎn)P，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEP．
∵CE=k•DE，
∴

EF

EP

=

DE

CE

=

1

k

，PF=（k+1）EF．
∵∠BFE=∠FBC，
∴PB=PF，
∵AF=a，
∴PC=（4-a）k，PB=PF=4+（4-a）k．
EF=

PF

k+1

=

8-a

k+1

．
∵Rt△DEF中，EF²=DE²+DF²，
∴（

8-a

k+1

）²=（

4

k+1

）²+（4-a）²整理，

12-a

k+1

×

4-a

k+1

=（4-a）²，
（k+1）²=

12-a

4-a

，
解得a=

4

2k+1

，
∴tan∠AFB=

AB

AF

=2k+1（k為正數(shù)）．

點(diǎn)評：本題利用了正方形的性質(zhì)，中點(diǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，勾股定理求解．