Question

如圖：已知：△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線，交于點O，過點O畫EF∥BC交AB于點E，AC于點F．
（1）寫出可用圖中字母表示的相等的角，并說明理由；
（2）若∠ABC=60°，∠ACB=80°，求∠A、∠BOC的度數(shù)；
（3）根據(jù)（2）的解答，請你猜出∠BOC與∠A度數(shù)的大小關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義得出∠BOE=∠OBC=∠OBE，∠COF=∠OCB=∠FCO；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠A=180°-∠ABC-∠ACB；先由角平分線的定義求出∠OBC和∠OCB的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB；
（3）根據(jù)（2）的解答，可猜測出∠BOC與∠A度數(shù)的大小關(guān)系為：∠BOC=90°+

1

2

∠A．

解答：解：（1）∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠BOE，∠OCB=∠COF，
又∵BO、CO分別是∠ACB和∠ACB的角平分線，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠FCO，
∴∠BOE=∠OBC=∠OBE，∠COF=∠OCB=∠FCO；

（2）在△ABC中，∵∠ABC=60°，∠ACB=80°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=40°；
∵BO、CO分別是∠ACB和∠ACB的角平分線，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC=30°，∠OCB=

1

2

∠ACB=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=110°；

（3）根據(jù)（2）的解答，可猜測出∠BOC與∠A度數(shù)的大小關(guān)系為：∠BOC=90°+

1

2

∠A．理由如下：
∵BO、CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-

1

2

∠ABC-

1

2

∠ACB=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB），
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠BOC=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A．

點評：本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理，難度中等．