Question

如圖，在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=3，點E為AD邊上一動點（不與A、D重合），連接CE，作EF⊥CE交AB邊于F
（1）求證：△AEF∽△DCE；
（2）當△ECF∽△AEF時，求AF的長；
（3）在點E的運動過程中，AD邊上是否存在異于點E的點G，使△AGF∽△DCG成立？若存在，請猜想點G的位置，并給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°
又∵EF⊥CE，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∴∠AFE=∠CED，
∴△AEF∽△DCE；

（2）∵△AEF∽△DCE，
∴AF：ED=EF：CE，
又∵△ECF∽△AEF，
∴EF：AF=CE：AE，即AF：AE=EF：CE，
∴AE=ED，
而AD=BC=3，
∴AE=ED=，
又∵△AEF∽△DCE，AB=DC=2，
∴AF：DE=AE：DC，即AF：=：2，
∴AF=；

（3）猜想：①當AE=DE，點G不存在；
②當AE≠DE，存在點G且AG=DE．證明如下：
如圖，
∵△AEF∽△DCE，
∴AF：DE=AE：DC，
∵AG=DE，
∴DG=AE，
∴AF：AG=DG：DC，
而∠A=∠D=90°，
∴△AGF∽△DCG．
分析：（1）由矩形的性質得∠A=∠D=90°，則∠AEF+∠AFE=90°，由EF⊥CE，則∠AFE=∠CED，得到∠AFE=∠CED，根據三角形相似的判定即可得到結論；
（2）由△AEF∽△DCE，根據相似的性質得到AF：ED=EF：CE，同理由△ECF∽△AEF得EF：AF=CE：AE，即AF：AE=EF：CE，則AE=ED=；再由△AEF∽△DCE，得AF：DE=AE：DC，代值即可求出AF；
（3）討論：①當AE=DE，點G不存在；②當AE≠DE，存在點G且AG=DE，由△AEF∽△DCE，得AF：DE=AE：DC，當AG=DE，則DG=AE，得到AF：AG=DG：DC，根據三角形相似的判定易得到△AGF∽△DCG．
點評：本題考查了三角形相似的判定與性質：有兩組對應角相等的三角形相似；有兩組對應邊的比相等，且它們的夾角相等的兩個三角形相似；相似三角形對應邊的比相等．也考查了矩形的性質．