Question

如圖，拋物線y=x²-2x+c的頂點(diǎn)A在直線l：y=x-5上．
（1）求拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)及c的值；
（2）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C、D（C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)），試判斷△ABD的形狀．

Answer 1

解：（1）∵y=x²-2x+c，
∴頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x=-=1，
又∵頂點(diǎn)A在直線y=x-5上，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=1-5=-4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，-4）．
將A（1，-4）代入y=x²-2x+c，
得-4=1²-2×1+c，解得c=-3．
故拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，-4），c的值為-3；

（2）△ABD是直角三角形．理由如下：
∵拋物線y=x²-2x-3與y軸交于點(diǎn)B，
∴B（0，-3）．
當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴C（-1，0），D（3，0）．
∵BD²=OB²+OD²=18，AB²=（4-3）²+1²=2，AD²=（3-1）²+4²=20，
∴BD²+AB²=AD²，
∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．
分析：（1）先根據(jù)拋物線的解析式得出其對(duì)稱軸，由此得到頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，然后代入直線l的解析式中求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式y(tǒng)=x²-2x+c中，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出c的值；
（2）先由拋物線的解析式得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再求出AB、AD、BD三邊的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可確定△ABD是直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用待定系數(shù)法確定其解析式，勾股定理及其逆定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．