Question

如圖，正方形ABCD中，E與F分別是AD、BC上一點(diǎn)．在①AE=CF、②BE∥DF、③∠1=∠2中，請(qǐng)選擇其中一個(gè)條件，證明BE=DF．
（1）你選擇的條件是______（只需填寫(xiě)序號(hào)）
證明：
（2）在BE=DF的前提下，當(dāng)E點(diǎn)位于AD什么位置時(shí)，EF∥CD？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）有所選條件加上已知條件看能附證明結(jié)論，若選①可通過(guò)SAS證明△BAE≌△DCF，所以可證出BE=DF．若選②則可判斷四邊形EBFD為平行四邊形，可證得BE=DF．若選③可判斷出△AEB≌△CFD，可證得BE=DF．
（2）EF∥CD可知EF⊥BC，又因?yàn)锽E=DF，故可判斷E在AD的中點(diǎn)處．
解答：解法一：（1）選①；
（2）證明：∵ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠A=∠C=∠Rt
又∵AE=CF，
∴△AEB≌△CFD，
∴BE=DF．

解法二：（1）選②；
（2）證明：∵ABCD是正方形，
∴AD∥BC
又∵BE∥DF，
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
∴BE=DF．

解法三：（1）選③；）
（2）證明：∵ABCD是正方形，
∴AB=CD，⊙∠A=∠C=∠Rt
又∵∠1=∠2，
∴△AEB≌△CFD．
∴BE=DF．

（2）當(dāng)E位于AD中點(diǎn)時(shí)，EF∥CD，
理由：∵BE=DF，AB=CD，
∴Rt△AEB≌Rt△CFD．
∴AE=CF，又AE=DE，所以DE=CF，
又∵DE∥CF，∴四邊形EDCF是平行四邊形，所以EF∥CD．
點(diǎn)評(píng)：本題主要是考查正方形的四邊相等的性質(zhì)證明三角形的全等，也用到了平行四邊形的判定即有一組對(duì)邊相等且平行的四邊形為平行四邊形．