Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，D為斜邊BC中點，DE⊥DF，求證：EF²=BE²+CF²．

Answer 1

證明：延長ED到G，使DG=DE，連接EF、FG、CG，如圖所示：
∵DF=DF，∠EDF=∠FDG=90°，DG=DE
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG
又∵D為斜邊BC中點
∴BD=DC
又∵∠BDE=∠CDG，DE=DG
∴△BDE≌△CDG（SAS）
∴BE=CG，∠B=∠BCG
∴AB∥CG
∴∠GCA=180°-∠A=180°-90°=90°
在Rt△FCG中，由勾股定理得：
FG²=CF²+CG²=CF²+BE²
∴EF²=FG²=BE²+CF²．
分析：延長ED到G，使DG=DE，連接EF、FG、CG，由于DF=DF，∠EDF=∠FDG=90°，DG=DE，可得出△EDF≌△GDF，所以EF=FG，同理證出BE=CG，所以要證明EF²=BE²+CF²，只需證明FG²=FC²+CG²即可．
點評：本題考查勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵在于找出相應(yīng)的直角三角形，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，證明過程中運用到全等三角形的判定和等價替換的方法．