Question

（2012•宜昌二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，斜邊AC的垂直平分線DE交BC于點D，交AC于點E，連接BE，經(jīng)過C、D、E三點作⊙O，
（1）求證：CD是⊙O的直徑；
（2）若BE是⊙O的切線，求∠ACB的度數(shù)；
（3）當AB=2

3

，BC=6時，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)垂直定義得出∠DEC，根據(jù)圓周角定理求出即可；
（2）根據(jù)圓的切線求出∠BED=∠OEC=∠C，根據(jù)直角三角形斜邊性質(zhì)求出BE=CE，求出∠C=∠EBC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C即可；
（3）求出AC，CE，根據(jù)解直角三角形求出CD，得出圓的半徑，求出∠EOC，根據(jù)扇形的面積求出扇形的面積，求出△OEC的面積，相減即可．

解答：（1）證明：∵AC的垂直平分線是DE，
∴∠CED=90°，
∴CD是⊙O的直徑；

（2）解：連接OE，
∵OE=OC，
∴∠C=∠OEC，
∵若BE是⊙O的切線，
∴BE⊥OE，
∠BED+∠DEO=∠DEO+∠OEC=90°，
∴∠BED=∠OEC，
∵BE是Rt△ABC斜邊中線，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠C=∠OEC，
在△BEC中，∠EBC+∠C+∠OEC+∠BEO=180°，
∴∠C=30°．

（3）解：∵AB=2

3

，BC=6，
∴tanC=

3

3

，∠C=30°，AC=2AB=4

3

，
∴EC=2

3

，
∵cos∠C=

CE

CD

，
∴cos30°=

2 3

CD

，
∴CD=4，
∴OC=

1

2

CD=2，
∵∠C=∠CEO=30°，
∴∠COE=120°，
∴扇形OEC的面積為

120π×22

360

=

4

3

π，
作OF⊥EC，垂足是F，
∵∠C=30°，
∴OF=

1

2

OC=1，
∴△OCE的面積為

1

2

×2

3

×1=

3

，
即陰影部分的面積為

4

3

π-

3

．

點評：本題考查了直角三角形斜邊中線性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，圓周角定理，扇形的面積，三角形的面積，切線性質(zhì)等知識點，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，題目綜合性比較強，難度偏大．