Question

（2010•雙鴨山）已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，點(diǎn)P在AC上，且∠MPN=90°．當(dāng)點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在線段AB、BC上時(shí)（如圖1），過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，可證Rt△PME∽R(shí)t△PNF，得出PN=PM．（不需證明）當(dāng)PC=PA，點(diǎn)M、N分別在線段AB、BC或其延長線上，如圖2、圖3這兩種情況時(shí)，請寫出線段PN、PM之間的數(shù)量關(guān)系，并任選取一給予證明．

Answer 1

【答案】分析：圖2和圖3的結(jié)論一致，求解的方法也相同，以圖2為例：過P作PE⊥AB于E，作PF⊥BC于F，仿照題干的做法，先證△PEM∽△PFN，得PN：PM=PF：PE；在Rt△ABC中，PF=PC，PE=PA，聯(lián)立PC、PA的比例關(guān)系，即可得到PF：PE的值，從而求得PN、PM的比例關(guān)系．
解答：解：
如圖2，如圖3中都有結(jié)論：PN=PM．（2分）
選如圖2：在Rt△ABC中，過點(diǎn)P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于點(diǎn)F；
∴四邊形BFPE是矩形，∴∠EPF=90°，
∵∠EPM+∠MPF=∠FPN+∠MPF=90°，
可知∠EPM=∠FPN，∴△PFN∽△PEM，（2分）
∴=；（1分）
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A=30°，∠C=60°，
∴PF=PC，PE=PA，（1分）
∴==；（1分）
∵PC=PA，∴=，即：PN=PM．（1分）
若選如圖3，其證明過程同上（其他方法如果正確，可參照給分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，由于題干部分已經(jīng)給出了解題的思路，使得此題的難度有所降低．