Question

（2010•集美區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，分別在AB、AC上選取E、F兩點(diǎn)，使得△AEF沿EF折疊后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC上，且FD∥AB．
（1）求證：四邊形AEDF是菱形；
（2）如果AB=3，AC=6，求菱形AEDF的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由FD∥AB，且使得△AEF沿EF折疊后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC上，易證得△DEF是等腰三角形，即DE=DF，又由AE=DE，AF=DF，即可得AE=DE=DF=AF，即可證得四邊形AEDF是菱形；
（2）易證得△CFD∽△CAB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得菱形AEDF的邊長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵FD∥AB，
∴∠1=∠2，
由折疊的性質(zhì)可得：∠1=∠3，AE=DE，AF=DF，
∴∠2=∠3，
∴DE=DF，
∵AE=DE=DF=AF，
∴四邊形AEDF是菱形；

（2）∵FD∥AB，
∴△CFD∽△CAB，
∴

CF

AC

=

FD

AB

，
∵四邊形AEDF是菱形，
∴FD=AF，
∵AB=3，AC=6，
∴

6-AF

6

=

AF

3

，
解得：AF=2，
故菱形AEDF的邊長(zhǎng)為2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．