Question

（2013•徐州模擬）已知：在如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，2），C（n，-2）（其中n＞0），點(diǎn)B在x軸的正半軸上．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，在四邊形OABC的邊上依次沿O-A-B-C的順序向點(diǎn)C移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的路徑的長(zhǎng)為l，△POC的面積為S，S與l的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示，其中四邊形ODEF是等腰梯形．
（1）結(jié)合以上信息及圖2填空：圖2中的m=

2

5

；
（2）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及圖2中OF的長(zhǎng)；
（3）若OM是∠AOB的角平分線，且點(diǎn)G與點(diǎn)H分別是線段AO與射線OM上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直接寫出HG+AH的最小值，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出示意圖并簡(jiǎn)述理由．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ODEF是等腰梯形，易得四邊形OABC是平行四邊形，由圖2可得S_△AOC=8，連接AC交x軸于R點(diǎn)，易得OR=4，由勾股定理可求得OA的值，即m的值；
（2）由OB=2RO=8，AR⊥OB，即可求得B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，易證得平行四邊形OABC是菱形，則可得OF=3OA；
（3）在OB上找一點(diǎn)N使ON=OG，連接NH，易證得△GOH≌△NOH，則可得GH+AH=AH+HN，根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)AN是點(diǎn)A到OB的垂線段時(shí)，且H點(diǎn)是AN與OM的交點(diǎn)，繼而求得答案．

解答：解：（1）如圖1，∵四邊形ODEF是等腰梯形，
∴OA=BC且OA∥BC，
∴四邊形OABC是平行四邊形，
由已知可得：S_△AOC=8，連接AC交x軸于R點(diǎn)，
又∵A（4，2），C（n，-2），
∴S_△AOC=S_△AOR+S_△ROC=0.5×RO×2+0.5×RO×2=2RO=8，
∴OR=4，
∴m=OA=

OR2+AR2

=

42+22

=2

5

；
故答案為：2

5

；

（2）∵OB=2RO=8，CR=AR=2，AR⊥OB，
∴B（8，0），C（4，-2）且平行四邊形OABC是菱形，
∴OF=3AO=3×2

5

=6

5

；

（3）如圖3，在OB上找一點(diǎn)N使ON=OG，連接NH，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM=∠BOM，
在△GOH和△NOH中，

ON=OG ∠GOH=∠NOH OH=OH

，
∴△GOH≌△NOH（SAS），
∴GH=NH，
∴GH+AH=AH+HN=AN，
根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)AN是點(diǎn)A到OB的垂線段時(shí)，且H點(diǎn)是AN與OM的交點(diǎn)，
∴GH+AH的最小值為2．

點(diǎn)評(píng)：此題等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)以及最短路徑問題．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．