Question

已知，如圖：⊙M交x軸于A（-

3

，0），B（

3

，0）兩點，交y軸于C（3，0），D兩點．
（1）求M點的坐標；
（2）P為弧BC上一動點，連接BC，PA，PC，當P點在弧BC上運動時．求證PC+PB=PA．

Answer 1

分析：（1）連接BD，由點A，B，C點的坐標，依據(jù)垂徑定理，推出CD⊥AB，OA=OB，再根據(jù)勾股定理推出BC的長度，即可求出∠BCO的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理推出∠CBD=90°，求得∠DBO=30°，再根據(jù)30°角的正切值推出OD的長度，即可推出OM的長度；
（2）在PA上截取PE=PB，連接AC，根據(jù)（1）中所推出的結論，首先求出△PMB和△ABC為等邊三角形，然后通過求證△CPB和△AMB全等，即可推出AE=PC，最后通過等量代換即可推出結論．

解答：解：（1）連接BD，
∵CD⊥AB，B（

3

，0），C（3，0），
∴BC=2

3

，
∴∠OCB=30°，
∵CD為直徑，
∴∠CBD=90°，
∴∠OBD=30°，
∴tan30°=

OD

OB

=

3

3

，
∴OD=1，
∴OM=

CD

2

-OD=1，
∴M點的坐標為（0，1），

（2）在PA上截取PE=PB，連接AC，
∵CD⊥AB，CD為直徑，
∴OA=OB，

AD

=

BD

，
∴∠APB=2∠DCB，AC=BC，
∵∠DCB=30°，
∴∠APB=60°，∠CBA=60°，
∴∠CPA=60°，
∵PB=PE，
∴△PMB和△ABC為等邊三角形，
∴∠AEB=120°，∠CPB=120°，BC=BA，
∵在△CPB和△AEB中，

AB=BC ∠CPB=∠AEB ∠BAE=∠BCP

，
∴△CPB≌△AEB（AAS），
∴AE=PC，
∵PA=EA+EP，
∴PA=PC+PB．

點評：本題主要考查圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義、垂徑定理，關鍵在于正確地作出輔助線，熟練運用相關的性質(zhì)定理求出相關角的度數(shù)、角的相等關系、線段的相等關系．