Question

如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，E是BC的中點(diǎn)，連接DE、OE．

(1)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；

(2)若tanC＝，DE＝2，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：

切線的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；解直角三角形。

專(zhuān)題：

計(jì)算題；證明題。

分析：

(1)連接OD，BD，求出∠ADB＝∠BDC＝90°，推出DE＝BE＝CE，推出∠EDB＝∠EBD，∠OBD＝∠ODB，推出∠EDO＝∠EBO＝90°即可；

(2)BD＝x，CD＝2x，在Rt△BCD中，由勾股定理得出(x)²＋(2x)²＝16，求出x，求出BD，根據(jù)tan∠ABD＝tanC求出AD＝BD，代入求出即可．

解答：

解：(1)DE與⊙O相切，

理由如下：連接OD，BD，

∵AB是直徑，

∴∠ADB＝∠BDC＝90°，

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴DE＝BE＝CE，

∴∠EDB＝∠EBD，

∵OD＝OB，

∴∠OBD＝∠ODB．

∴∠EDO＝∠EBO＝90°，(用三角形全等也可得到)

∴DE與⊙O相切．

(2)∵tanC＝，可設(shè)BD＝x，CD＝2x，

∵在Rt△BCD中，BC＝2DE＝4，BD2＋CD2＝BC2

∴(x)²＋(2x)²＝16，

解得：x＝±(負(fù)值舍去)

∴BD＝x＝，

∵∠ABD＝∠C，

∴tan∠ABD＝tanC

AD＝BD＝×＝．

答：AD的長(zhǎng)是．

點(diǎn)評(píng)：

本題綜合考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，切線的判定等知識(shí)點(diǎn)，主要培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，注意：①證切線的方法，②方程思想的運(yùn)用．