Question

如圖，已知拋物線y＝ax²＋bx＋3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標是(1，0)，C點坐標是(4，3)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)在(1)中拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△BCD的周長最小？若存在，求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；

(3)若點E是(1)中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點的坐標．

Answer 1

答案：
解析：

專題：代數幾何綜合題． 　　分析： 　　(1)利用待定系數法求二次函數解析式解答即可； 　　(2)利用待定系數法求出直線AC的解析式，然后根據軸對稱確定最短路線問題，直線AC與對稱軸的交點即為所求點D； 　　(3)根據直線AC的解析式，設出過點E與AC平行的直線，然后與拋物線解析式聯(lián)立消掉y得到關于x的一元二次方程，利用根的判別式△＝0時，△ACE的面積最大，然后求出此時與AC平行的直線，然后求出點E的坐標，并求出該直線與x軸的交點F的坐標，再求出AF，再根據直線l與x軸的夾角為45°求出兩直線間的距離，再求出AC間的距離，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解． 　　解答：解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋3經過點A(1，0)，點C(4，3)， 　　∴， 　　解得， 　　所以，拋物線的解析式為y＝x2－4x＋3； 　　(2)∵點A、B關于對稱軸對稱， 　　∴點D為AC與對稱軸的交點時△BCD的周長最小， 　　設直線AC的解析式為y＝kx＋b(k≠0)， 　　則， 　　解得， 　　所以，直線AC的解析式為y＝x－1， 　　∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， 　　∴拋物線的對稱軸為直線x＝2， 　　當x＝2時，y＝2－1＝1， 　　∴拋物線對稱軸上存在點D(2，1)，使△BCD的周長最�。� 　　(3)如圖，設過點E與直線AC平行線的直線為y＝x＋m， 　　聯(lián)立， 　　消掉y得，x2－5x＋3－m＝0， 　　△＝(－5)2－4×1×(3－m)＝0， 　　即m＝－時，點E到AC的距離最大，△ACE的面積最大， 　　此時x＝，y＝－＝－， 　　∴點E的坐標為(，－)， 　　設過點E的直線與x軸交點為F，則F(，0)， 　　∴AF＝－1＝， 　　∵直線AC的解析式為y＝x－1， 　　∴∠CAB＝45°， 　　∴點F到AC的距離為×＝， 　　又∵AC＝＝3， 　　∴△ACE的最大面積＝×3×＝，此時E點坐標為(，－)． 　　點評：本題考查了二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，待定系數法求一次函數解析式，利用軸對稱確定最短路線問題，聯(lián)立兩函數解析式求交點坐標，利用平行線確定點到直線的最大距離問題．

提示：

考點：二次函數綜合題．