Question

如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC、CD上的點，BE=CF，AF與DE相交于點O，CG⊥DE，垂足為G．
（1）求證：AD²=AO•AF；
（2）若GO：BE=4：5，試確定點F的位置．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=DC=BC，∠ADF=∠DCE=90°，
∵BE=CF，
∴DF=EC．
∴在△ADF與△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠1=∠2，
又∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AOD=90°，
∴△ADO∽△AFD，
∴=，即AD²=AO•AF；

（2）解：如圖，過F點作FH⊥CG，垂足為H，
由矩形的性質(zhì)，得FH=OG，
∵BE=CF，GO：BE=4：5，
∴FH：CF=4：5，
∵DE⊥AF，DE⊥CG，∴OF∥CG，
∴∠4=∠5，
∴△ADF∽△FHC，
∴AD：AF=FH：CF=4：5，
在Rt△ADF中，DF：AD=3：4，
故DF：DC=3：4，
即DF=DC．
分析：（1）通過證明△ADF≌△DCE，得出∠1=∠2，而∠2+∠3=90°，利用互余關(guān)系得出∠AOD=90°，然后可以證得△ADO∽△ADF，所以由該相似三角形的對應邊成比例來證得結(jié)論；
（2）過F點作FH⊥CG，垂足為H，則FH=OG，由DF=CE，GO：BE=4：5，得FH：CF=4：5，而DE⊥AF，DE⊥CG，則OF∥CG，∠4=∠5，△ADF∽△FHC，利用相似比得出AD：FH=DF：HC，由勾股定理得出AD：DF，從而得出DF：FC．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)證明全等三角形，相似三角形，利用線段，角的關(guān)系解題．