Question

△ABC為正三角形，點M是射線BC上任意一點，點N是射線CA上任意一點，且BM=CN，直線BN與AM相交于Q點，就下面給出的三種情況，如圖中的①②③，先用量角器分別測量∠BQM的大小，然后猜測∠BQM等于多少度．并利用圖③證明你的結(jié)論．

Answer 1

猜想：∠BQM=60°，
證明：如圖③，在△ABN和△CAM中，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAN=∠ACM=120°，
∵BM=CN，AC=BC，
∴AN=CM，
又∵AB=AC，
∴△ABN≌△CAM，
∴∠N=∠M，
又∵∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°．
分析：先用量角器分別測量∠BQM的大小，再在③中根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAN=∠ACM=120°，由全等三角形的判定定理得出△ABN≌△CAM，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
點評：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意判斷出△ABN≌△CAM是解答此題的關(guān)鍵．