Question

如圖，已知△ABC中，AB=4，BC=5，AC=6，把線段AB沿射線BC方向平移至PQ，直線PQ與直線AC交于點(diǎn)E，又連接BQ與直線AC交于點(diǎn)D．
（1）若BP=3，求AD的長(zhǎng)；
（2）設(shè)BP=x，DE=y，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)BP為多少時(shí)，以Q、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

Answer 1

分析：（1）連接AQ，由平行四邊形的判定定理可得出四邊形ABPQ是平行四邊形，進(jìn)而可得出△ADQ∽△CDB，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；
（2）由平行線分線段成比例定理可知

CE

CA

=

CP

CB

，

AD

DC

=

AQ

BC

，再根據(jù)點(diǎn)P在邊BC上或點(diǎn)P在邊BC的延長(zhǎng)線上兩種情況討論即可；
（3）先由相似三角形的判定定理得出△EDQ∽△ADB，△ADB∽△ABC，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出BP的長(zhǎng)．

解答：解：（1）連接AQ
∵AB∥PQ  AB=PQ
∴四邊形ABPQ是平行四邊形，
∴AQ∥BP  AQ=BP
∴△ADQ∽△CDB，
∵BP=3
∴AQ=3
∵

AQ

BC

=

AD

DC

，
∴

3

5

=

AD

6-AD

，
∴AD=

9

4

；

（2）∵AB∥PQ，AQ∥BC，
∴

CE

CA

=

CP

CB

，

AD

DC

=

AQ

BC

∵AB=4，BC=5，AC=6，BP=x，DE=y，
當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，
∴

CE

6

=

5-x

5

，解得CE=6-

6x

5

…（1分）

AD

6-AD

=

x

5

，解得AD=

6x

x+5

…（1分）
∴y=DE=6-AD-CE=

6x2

5x+25

…（1分）
當(dāng)點(diǎn)P在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，
∴

CE

6

=

x-5

5

，解得CE=

6x

5

-6…（1分）

AD

6-AD

=

x

5

，解得AD=

6x

x+5

…（1分）
∴y=DE=6-AD+CE=

6x2

5x+25

綜上所述，y=

6x2

5x+25

（x＞0）…（1分）

（3）∵AB∥PQ，∴△EDQ∽△ADB  …（1分）
又以Q、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，
∴△ADB與△ABC相似  …（1分）
∵∠BAC公共，又∠ABD≠∠ABC
∴∠ABD=∠ACB     …（1分）
∴

AD

AB

=

AB

AC

即AD=

8

3

由（2）知，AD=

6x

x+5

∴

6x

x+5

=

8

3

得x=4
所以，當(dāng)BP為4時(shí)，以Q、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．…（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定定理及平行線分線段成比例定理，在解（2）時(shí)要注意分類(lèi)討論，不要漏解．