Question

如圖，將邊長(zhǎng)為3cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊(點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上)，使點(diǎn)B落在AD的中點(diǎn) M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P， 連接EP．

(1) △AEM的周長(zhǎng)=_____cm；（2）求證：EP=AE+DP；

Answer 1

(1) （2）見解析

（1）設(shè)AE=xcm，則EB=ME=（3-x）cm．
又因?yàn)镋為DC的中點(diǎn)，
所以AM=1.5cm，
在Rt△DME中，AE²+AM²=ME²，
即x²+1.5²=（3-x）²，
解得x=．
所以線段DM的長(zhǎng)為cm
△AEM的周長(zhǎng)=+1.5+=   
（2）證明：
分別延長(zhǎng)EM和PD交于點(diǎn)H.
∵正方形ABCD ∴AB∥CD,∴∠AEM=∠H
又∵∠AME=∠DMH，AM="DM" ∴△AME≌△DMH
∴EM=HM，AE="DH." ……………………………… 5分
在△EHP中，由折疊過(guò)程知，∠EMP=∠B=90°，∴MP⊥EH
∴PH="EP" 又∵EM=HM，∴PE="PH" …………………………… 7分
∵PH=DP+DH,  AE=DH. ∴PH="AE+DP"
∴EP=AE+DP.       ……………………………………8分
（其他解法參照給分）
（1）設(shè)AE=xcm,根據(jù)勾股定理求得x，即可求出△AEM的周長(zhǎng)
（2）通過(guò)△AME≌△DMH，求得EM=HM，AE=DH，由折疊過(guò)程，求得PE=PH，從而求得結(jié)論