Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，AE與對角線BD交于點(diǎn)F．

（1）求證：DF=2BF；
（2）當(dāng)∠AFB=90°且tan∠ABD= 時，若CD= ，求AD長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，

∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，

∴BE= BC= AD，

∵AD∥BC，

∴△BEF∽△DAF，

∴ = ，

∴DF=2BF

（2）解：∵CD= ，

∴AB=CD= ，

∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∴tan∠ABD= = ，

∴設(shè)AF=x，則BF=2x，

∴AB= = x= ，

∴x=1，AF=1，BF=2，

∵DF=2BF，

∴DF=4，

∴AD= =

【解析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)的出AD∥BC，AD=BC，AB=CD，再據(jù)相似三角形的判定定理得△BEF∽△DAF，最后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出DF=2BF；（2）由平行四邊形的性質(zhì)對邊相等得出AB=CD，再Rt△ABF中由銳角三角函數(shù)，及勾股定理得出AD的長度。
【考點(diǎn)精析】利用平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對角線互相平分；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．