Question

（2007•海南）如圖，直線y=-x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、C和點(diǎn)B（-1，0）．
（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為M，求四邊形AOCM的面積；
（3）有兩動(dòng)點(diǎn)D、E同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，其中點(diǎn)D以每秒個(gè)單位長度的速度沿折線OAC按O?A?C的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E以每秒4個(gè)單位長度的速度沿折線OCA按O?C?A的路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D、E兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)D、E同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)t秒時(shí)，△ODE的面積為S．
①請問D、E兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在DE∥OC，若存在，請求出此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由；
②請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
③設(shè)S是②中函數(shù)S的最大值，那么S=______．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)直線AC的解析式求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)拋物線的解析式可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，由于四邊形OAMC不是規(guī)則的四邊形，因此可過M作x軸的垂線，將四邊形OAMC分成一個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形來求解．
（3）①如果DE∥OC，此時(shí)點(diǎn)D，E應(yīng)分別在線段OA，CA上，先求出這個(gè)區(qū)間t的取值范圍，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，求出此時(shí)t的值，然后看t的值是否符合此種情況下t的取值范圍．如果符合則這個(gè)t的值就是所求的值，如果不符合，那么就說明不存在這樣的t．
②本題要分三種情況進(jìn)行討論：
當(dāng)E在OC上，D在OA上，即當(dāng)0＜t≤1時(shí)，此時(shí)S=OE•OD，由此可得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；
當(dāng)E在CA上，D在OA上，即當(dāng)1＜t≤2時(shí)，此時(shí)S=OD×E點(diǎn)的縱坐標(biāo)．由此可得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；
當(dāng)E，D都在CA上時(shí)，即當(dāng)2＜t＜相遇時(shí)用的時(shí)間，此時(shí)S=S_△AOE-S_△AOD，由此可得出S，t的函數(shù)關(guān)系式；
綜上所述，可得出不同的t的取值范圍內(nèi)，函數(shù)的不同表達(dá)式．
③根據(jù)②的函數(shù)即可得出S的最大值．
解答：解：（1）令y=0，則x=3，
∴A（3，0），C（0，4），
∵二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)C（0，4），
∴可設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為y=ax²+bx+4．
又∵該函數(shù)圖象過點(diǎn)A（3，0），B（-1，0），
∴，
解得a=-，b=．
∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-x²+x+4．

（2）∵y=-x²+x+4
=-（x-1）²+
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，）
過點(diǎn)M作MF⊥x軸于F
∴S_{四邊形AOCM}=S_△AFM+S_梯形FOCM
=×（3-1）×+×（4+）×1
=10
∴四邊形AOCM的面積為10．

（3）①不存在DE∥OC
∵若DE∥OC，則點(diǎn)D，E應(yīng)分別在線段OA，CA上，此時(shí)1＜t＜2，在Rt△AOC中，AC=5．
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x₁，y₁）
∴=，
∴
∵DE∥OC，
∴
∴
∵t=＞2，不滿足1＜t＜2．
∴不存在DE∥OC．
②根據(jù)題意得D，E兩點(diǎn)相遇的時(shí)間為（秒）
現(xiàn)分情況討論如下：
（ⅰ）當(dāng)0＜t≤1時(shí)，S=×t•4t=3t²；
（ⅱ）當(dāng)1＜t≤2時(shí)，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x₂，y₂）
∴，
∴
∴S=×t×=-t²+t；
（ⅲ）當(dāng)2＜t＜時(shí)，
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x₃，y₃），類似ⅱ可得
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x₄，y₄）
∴，
∴
∴S=S_△AOE-S_△AOD
=×3×-×3×
=-t+．
③當(dāng)0＜t≤1時(shí)，S=×t•4t=3t²，函數(shù)的最大值是3；
當(dāng)1＜t≤2時(shí)，S=-t²+t．函數(shù)的最大值是：，
當(dāng)2＜t＜時(shí)，S=-t+，0＜S＜．
∴S=．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．