Question

（2002•吉林）如圖，已知矩形ABCD，以A為圓心，AD為半徑的圓交AC、AB于M、E，CE的延長(zhǎng)線交⊙A于F，CM=2，AB=4．（1）求⊙A的半徑；（2）求CE的長(zhǎng)和△AFC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)切割線定理求出CA的長(zhǎng)，然后在Rt△ACD中，用勾股定理求出AB即⊙O的半徑長(zhǎng)；
（2）在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理，易求得CE的長(zhǎng)；由切割線定理得CD²=CE•CF，由此可求出CF和EF的長(zhǎng)；在△AFC中，已知底邊CF的長(zhǎng)，關(guān)鍵是求出CF邊上的高；過(guò)A作AG⊥CF于G，通過(guò)相似三角形△AEG和△CEB得出的成比例線段可求出AG的長(zhǎng)；由此可根據(jù)三角形的面積公式求得△AFC的面積．
解答：解：（1）四邊形ABCD為矩形，AB=4；∴CD=4．
在Rt△ACD中，AC²=CD²+AD²；
∴（2+AD）²=4²+AD²；
解得AD=3．

（2）過(guò)A點(diǎn)作AG⊥EF于G；
∵BC=3，BE=AB-AE=4-3=1．
∴CE===．
由CE•CF=CD²，得：
CF===．
又∵∠B=∠AGE=90°，∠BEC=∠GEA，
∴△BCE∽△GAE；
∴，即=．
∴AG=．
∴S_△AFC=CF•AG=××=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的是切割線定理、矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．