Question

如圖，已知拋物線過點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）．
（1）求該拋物線的解析式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若P是拋物線上C、B兩點(diǎn)之間的一動點(diǎn)，請連接CP、BP，是否存在點(diǎn)P，使得四邊形OBPC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出二次函數(shù)的一般形式后代入三個點(diǎn)的坐標(biāo)求解即可；
（2）設(shè)存在點(diǎn)P（x，x²-2x-3），使得四邊形OBPC的面積最大，作PD⊥x軸于點(diǎn)D，根據(jù)S_{四邊形OCPB}=S_梯形OCPD+S_△PBD得到有關(guān)x的最大值后即可求解

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵過點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

解得：

a=1 b=-2 c=-3

∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）；

（2）設(shè)存在點(diǎn)P（x，x²-2x-3），使得四邊形OBPC的面積最大，
如圖，作PD⊥x軸于點(diǎn)D，
則OD=x，PD=-（x²-2x-3）=3+2x-x²，DB=3-x，
S_{四邊形OCPB}=S_梯形OCPD+S_△PBD=

1

2

（OC+PD）•OD+

1

2

DB•DP=

1

2

×（3+3+2x-x²）•x+

1

2

（3-x）（3+2x-x²）=-

3

2

（x-

3

2

）²+

63

8

則當(dāng)x=

3

2

時，面積最大，
此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（

3

2

，-

15

4

）．

點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、四邊形的面積等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．