Question

如圖，以Rt△ABC的斜邊BC為一邊在△ABC的同側(cè)作正方形BCEF，設(shè)正方形的中心為O，連接AO，如果AB=4，AO=6

2

，那么AC的長等于

 

．

Answer 1

分析：首先作出輔助線：過O點(diǎn)作OG垂直AC，G點(diǎn)是垂足．然后開始求值，可分成三步．第一步：求AH的值，利用△ABH∽△GOH，第二步：在直角△OHC中，求GC的值，第三步：求AC的值．

解答：解：如圖，過O點(diǎn)作OG垂直AC，G點(diǎn)是垂足．
∵∠BAC=∠BOC=90°，
∴ABCO四點(diǎn)共圓，
∴∠OAG=∠OBC=45°
∴△AGO是等腰直角三角形，
∴2AG²=2GO²=AO²=(6

2

)2=72，
∴OG=AG=6，
∵∠BAH=∠0GH=90°，∠AHB=∠OHG，
∴△ABH∽△GOH，
∴AB/OG=AH/（AG-AH），
∵AB=4，OG=AG=6，
∴AH=2.4
在直角△OHC中，∵HG=AG-AH=6-2.4=3.6，OG又是斜邊HC上的高，
∴OG²=HG×GC，
而OG=6，GH=3.6，
∴GC=10．
∴AC=AG+GC=6+10=16．
故AC邊的長是16．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，解答本題要充分利用正方形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，三角形的相似等知識點(diǎn)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率．