精英家教網(wǎng)如圖,以Rt△ABC的斜邊BC為一邊在△ABC的同側(cè)作正方形BCEF,設正方形的中心為O,連接AO,如果AB=4,AO=6
2
,那么AC的長等于
 
分析:首先作出輔助線:過O點作OG垂直AC,G點是垂足.然后開始求值,可分成三步.第一步:求AH的值,利用△ABH∽△GOH,第二步:在直角△OHC中,求GC的值,第三步:求AC的值.
解答:精英家教網(wǎng)解:如圖,過O點作OG垂直AC,G點是垂足.
∵∠BAC=∠BOC=90°,
∴ABCO四點共圓,
∴∠OAG=∠OBC=45°
∴△AGO是等腰直角三角形,
∴2AG2=2GO2=AO2=(6
2
)2
=72,
∴OG=AG=6,
∵∠BAH=∠0GH=90°,∠AHB=∠OHG,
∴△ABH∽△GOH,
∴AB/OG=AH/(AG-AH),
∵AB=4,OG=AG=6,
∴AH=2.4
在直角△OHC中,∵HG=AG-AH=6-2.4=3.6,OG又是斜邊HC上的高,
∴OG2=HG×GC,
而OG=6,GH=3.6,
∴GC=10.
∴AC=AG+GC=6+10=16.
故AC邊的長是16.
點評:本題考查了正方形的性質(zhì),解答本題要充分利用正方形的性質(zhì),圓的性質(zhì),三角形的相似等知識點.注意在正方形中的特殊三角形的應用,可有助于提高解題速度和準確率.
練習冊系列答案
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23、如圖,以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O,與斜邊AC交于D,E是BC邊上的中點,連接ED、BD.
(1)求證:△ABC∽△BCD
(2)DE與半圓O相切嗎?若相切,請給出證明;若不相切,請說明理由.

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精英家教網(wǎng)如圖,以Rt△ABC各邊為直徑的三個半圓圍成兩個新月形(陰影部分),已知AC=3cm,BC=4cm.則新月形(陰影部分)的面積和是
 
cm2

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精英家教網(wǎng)已知,如圖,以Rt△ABC的斜邊AB為直徑作⊙0,D是BC上的點,且有弧AC=弧CD,連CD、BD,在BD延長線上取一點E,使∠DCE=∠CBD.
(1)求證:CE是⊙0的切線;
(2)若CD=2
5
,DE和CE的長度的比為
1
2
,求⊙O半徑.

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如圖,以Rt△ABC的直角邊AC為直徑作圓O交斜邊AB于點D,若劣弧CD=120°,則
BDAD
=
3
3

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(2009•黔南州)如圖,以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O,與斜邊AC交于D,E是BC邊上的中點,連接DE.
(1)DE與半圓0是否相切?若相切,請給出證明;若不相切,請說明理由;
(2)若AD、AB的長是方程x2-16x+60=0的兩個根,求直角邊BC的長.

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