Question

【題目】將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）．動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個單位長的速度沿OC向終點(diǎn)C運(yùn)動，運(yùn)動 秒時，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以相等的速度沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動．當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t（秒）．
（1）用含t的代數(shù)式表示OP，OQ；
（2）當(dāng)t=1時，如圖1，

將沿△OPQ沿PQ翻折，點(diǎn)O恰好落在CB邊上的點(diǎn)D處，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）連接AC，將△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如圖2．

問：PQ與AC能否平行？PE與AC能否垂直？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：OP=6﹣t，OQ=t+

（2）

解：當(dāng)t=1時，過D點(diǎn)作DD1⊥OA，交OA于D1，如圖1，

則DQ=QO= ，QC= ，

∴CD=1，

∴D（1，3）

（3）

解：①PQ能與AC平行．

若PQ//AC，如圖2，

則 ，

即 ，

∴ ，而 ，

∴ ．

②PE不能與AC垂直．

若PE⊥AC，延長QE交OA于F，如圖3，

則 = ，

= ，

∴ ．

∴EF=QF﹣QE=QF﹣OQ= = =（ ﹣1）（t+ ），

又∵Rt△EPF∽Rt△OCA，

∴ ，

∴ ，

∴t≈3.45，而 ，

∴t不存在

【解析】（1）點(diǎn)Q運(yùn)動的時間比點(diǎn)P多 秒，則運(yùn)動的路程也多出了 ．（2）利用翻折得到的線段長，再利用勾股定理可求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等．（3）當(dāng)平行的時候，所截得的線段對應(yīng)成比例，即可求得時間值．當(dāng)垂直的時候也要找到一組平行線，得到對應(yīng)線段成比例看是否在相應(yīng)的范圍內(nèi)．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的矩形的性質(zhì)和翻折變換（折疊問題），需要了解矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和角相等才能得出正確答案．