Question

如圖，在矩形ABCD的對角線AC上有一動點O，以OA為半徑作⊙O交AD、AC于點E、F，連結CE．
（1）若CE恰為⊙O的切線，求證：∠ACB=∠DCE；
（2）在（1）的條件下，若AB=

2

，BC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）首先連接OE，由CE恰為⊙O的切線，易證得四邊形ABCD是矩形，然后由等角的余角相等，證得：∠ACB=∠DCE；
（2）首先連接EF，易證得△ABC∽△EDC，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得DE的長，由勾股定理，求得AC的長，繼而求得答案．

解答：（1）證明：連接OE，
∵CE是⊙O的切線，
∴OE⊥EC，
∴∠DEC+∠AEO=90°，
∵OE=OA，
∴∠AEO=∠EAO，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴∠ACB=∠EAO，∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠ACB=∠DCE；

（2）解：連接EF，
∵∠ACB=∠DCE，∠B=∠D=90°，
∴△ABC∽△EDC，
∴

AB

DE

=

BC

CD

，
∵AB=CD=

2

，BC=2，
∴DE=1，
∴AE=DE，
∵AF為直徑，
∴EF⊥AD，
∴EF∥CD，
∴AF=CF，
在Rt△ABC中，AB=

2

，BC=2，
∴AC=

6

，
∴⊙O的半徑OA=

1

2

AF=

1

4

AC=

6

4

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．