【題目】如圖(1),已知正方形ABCD在直線MN的上方,BC在直線MN上,E是BC上一點(diǎn),以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG.
(1)連接GD,求證:△ADG≌△ABE;
(2)連接FC,觀察并猜測∠FCN的度數(shù),并說明理由;
(3)如圖(2),將圖(1)中正方形ABCD改為矩形ABCD,AB=a,BC=b(a、b為常數(shù)),E是線段BC上一動點(diǎn)(不含端點(diǎn)B、C),以AE為邊在直線MN的上方作矩形AEFG,使頂點(diǎn)G恰好落在射線CD上.判斷當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動時(shí),∠FCN的大小是否總保持不變?若∠FCN的大小不變,請用含a、b的代數(shù)式表示tan∠FCN的值;若∠FCN的大小發(fā)生改變,請舉例說明.
【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形,
∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD,
∴∠BAE=∠DAG,
∴△BAE≌△DAG
(2)解:∠FCN=45°,
理由是:作FH⊥MN于H,
∵∠AEF=∠ABE=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,∠FEH+∠AEB=90°,
∴∠FEH=∠BAE,
又∵AE=EF,∠EHF=∠EBA=90°,
∴△EFH≌△ABE,
∴FH=BE,EH=AB=BC,
∴CH=BE=FH,
∵∠FHC=90°,
∴∠FCN=45°
(3)解:當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動時(shí),∠FCN的大小總保持不變,
理由是:作FH⊥MN于H,
由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°,
結(jié)合(1)(2)得∠FEH=∠BAE=∠DAG,
又∵G在射線CD上,
∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°,
∴△EFH≌△GAD,△EFH∽△ABE,
∴EH=AD=BC=b,
∴CH=BE,
∴ ;
在Rt△FEH中,tan∠FCN= = = ,
∴當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動時(shí),∠FCN的大小總保持不變,tan∠FCN= .
【解析】(1)根據(jù)三角形判定方法進(jìn)行證明即可.(2)作FH⊥MN于H.先證△ABE≌△EHF,得到對應(yīng)邊相等,從而推出△CHF是等腰直角三角形,∠FCH的度數(shù)就可以求得了.(3)本題也是通過構(gòu)建直角三角形來求度數(shù),作FH⊥MN于H,∠FCH的正切值就是FH:CH.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握矩形的四個(gè)角都是直角,矩形的對角線相等;正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:A(0,1),B(2,0),C(4,3)
(1)在直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn),畫出△ABC.
(2)求△ABC的面積;
(3)設(shè)點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上,且△ABP與△ABC的面積相等,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1),已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,E是AC上一點(diǎn),連接EB,過點(diǎn)A作AM⊥BE,垂足為M,AM交BD于點(diǎn)F.
(1)求證:OE=OF;
(2)如圖(2),若點(diǎn)E在AC的延長線上,AM⊥BE于點(diǎn)M,交DB的延長線于點(diǎn)F,其他條件不變,則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎?如果成立,請給出證明;如果不成立,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“十 一”黃金周期間,我市廬山風(fēng)景區(qū)在7天假期中每天旅游的人數(shù)變化如下表(正數(shù)表示比前一天多的人數(shù),負(fù)數(shù)表示比前一天少的人數(shù))
日期 | 1日 | 2日 | 3日 | 4日 | 5日 | 6日 | 7日 |
人數(shù)變化 單位:萬人 | +1.6 | +0.8 | +0.4 | -0.4 | -0.8 | +0.2 | -1.2 |
(1)、若9月30日的游客人數(shù)記為n,請用含n的代數(shù)式表示10月2日的游客________萬人。
(2)、請判斷七天內(nèi)游客人數(shù)最多的是_______日;最少的是______日;它們相差_____萬人。
(3)、以9月30日的游客人數(shù)為0點(diǎn),用折線統(tǒng)計(jì)圖表示這7天的游客人數(shù)變化情況:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中菲黃巖島爭端持續(xù),我海監(jiān)船加大黃巖島附近海域的巡航維權(quán)力度.如圖,OA⊥OB,OA=36海里,OB=12海里,黃巖島位于O點(diǎn),我國海監(jiān)船在點(diǎn)B處發(fā)現(xiàn)有一不明國籍的漁船,自A點(diǎn)出發(fā)沿著AO方向勻速駛向黃巖島所在地點(diǎn)O,我國海監(jiān)船立即從B處出發(fā)以相同的速度沿某直線去攔截這艘漁船,結(jié)果在點(diǎn)C處截住了漁船.
(1)請用直尺和圓規(guī)作出C處的位置;
(2)求我國海監(jiān)船行駛的航程BC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,從一張腰長為60cm,頂角為120°的等腰三角形鐵皮OAB中剪出一個(gè)最大的扇形OCD,用此剪下的扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面(不計(jì)損耗),則該圓錐的高為m.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是小明用七巧板拼出的圖案.
(1)請賦予該圖形一個(gè)積極的含義;
(2)請你找出圖中2組平行線段和2對互相垂直的線段,用符號表示它們;
(3)找出圖中一個(gè)銳角、一個(gè)鈍角和一個(gè)直角,將它們表示出來,并指出它們的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,六邊形ABCDEF的內(nèi)角都相等,∠DAB=60°,AB=DE,則下列結(jié)論成立的個(gè)數(shù)是( )
①AB∥DE;②EF∥AD∥BC;③AF=CD;④四邊形ACDF是平行四邊形;⑤六邊形ABCDEF既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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