Question

如圖所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A，B重合），給出以下五個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S_{四邊形AEPF}=

1

2

S_△ABC；④EF=AP；⑤BE+CF=EF；上述結(jié)論中始終正確的有

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專(zhuān)題：

分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BAP=∠C=45°，AP=CP，根據(jù)等角的余角相等求出∠APE=∠CPF，然后利用“角邊角”證明△AEP和△CPF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=CF，PE=PF，全等三角形的面積相等求出S_{四邊形AEPF}=S_△APC，然后解答即可．

解答：解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，
∴∠BAP=∠C=45°，AP=CP，
∵∠EPF是直角，
∴∠APE+∠APF=∠CPF+∠APF=90°，
∴∠APE=∠CPF，
在△AEP和△CPF中，

∠BAP=∠C=45° AP=PC ∠APE=∠CPF

，
∴△AEP≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，PE=PF，S_△APE=S_△CPF，
∴S_{四邊形AEPF}=S_△APC，
∴S_{四邊形AEPF}=

1

2

S_△ABC，
故①②③正確，
EF=

2

EP≥AP，BE+CF=AB≤EF．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出三角形全等是解題的關(guān)鍵．