我們知道32－12＝8，52－32＝16，72－52＝24，且它們都能被8整除．試問(wèn)：任意兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差都能被8整除嗎？如果能夠，請(qǐng)寫出你的推理過(guò)程；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案：
解析：

　　答案：任意兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)．

　　推理如下：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為2n＋1，2n－1(其中n為任意整數(shù))．

　　故(2n＋1)2－(2n－1)2＝[(2n＋1)＋(2n－1)][(2n＋1)－(2n－1)]＝4n×2＝8n．

　　顯然，當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，任意兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差都能被8整除．

　　剖析：設(shè)出兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)，然后利用分解因式通過(guò)推理即可得到結(jié)論．


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(1)我們知道，1＝12－02；3＝22－12；5＝32－22；7＝42－32；…；(2n－1)＝n2－(n－1)2；把這些式子全部加起來(lái)，可以得到如下結(jié)論：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2．

(2)由于當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(－1)n＝－1；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(－1)n＝1；所以我們通常把(－1)n稱為符號(hào)系數(shù)．因此，我們可以得出下列結(jié)論：

＋(－1)n

你能根據(jù)上式，寫出一個(gè)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)值為1，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)值為0的式子嗎？

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我們知道：12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，…，若自然數(shù)的平方按由小到大的順序排成：

14916253649…，

則第351個(gè)位置的數(shù)字是幾？

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我們知道“32－12＝8，52－32＝16＝2×8，72－52＝24＝3×8，92－72＝32＝4×8；顯然它們都能被8整除．試問(wèn)：任意兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)嗎？如果是，請(qǐng)寫出你的推理過(guò)程；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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同學(xué)們，我們?cè)?jīng)研究過(guò)n×n的正方形網(wǎng)格，得到了網(wǎng)格中正方形的總數(shù)的表達(dá)式為12＋22＋32＋…＋n2．但n為100時(shí)，應(yīng)如何計(jì)算正方形的具體個(gè)數(shù)呢？下面我們就一起來(lái)探究并解決這個(gè)問(wèn)題．首先，通過(guò)探究我們已經(jīng)知道時(shí)，我們可以這樣做：

(1)觀察并猜想：

12＋22＝(1＋0)×1＋(1＋1)×2＝l＋0×1＋2＋1×2＝(1＋2)＋(0×1＋1×2)

12＋22＋32＝(1＋0)×1＋(1＋1)×2＋(l＋2)×3

＝1＋0×1＋2＋1×2＋3＋2×3

＝(1＋2＋3)＋(0×1＋1×2＋2×3)

12＋22＋32＋42＝(1＋0)×1＋(1＋1)×2＋(l＋2)×3＋(1＋3)×4；

＝1＋0×1＋2＋1×2＋3＋2×3＋________

＝(1＋2＋3＋4)＋________

(2)歸納結(jié)論：

12＋22＋32…＋n2＝(1＋0)×1＋(1＋1)×2＋(1＋2)×3＋…[(1＋(n－l)]n

＝1＋0×1＋2＋1×2＋3＋2×3＋…＋n＋(n－1)×n

＝________＋________

＝________＋________

＝×________

(3)實(shí)踐應(yīng)用：

通過(guò)以上探究過(guò)程，我們就可以算出當(dāng)n為100時(shí)，正方形網(wǎng)格中正方形的總個(gè)數(shù)是_________．

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