Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，，D是BC邊的中點(diǎn)，E為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作∠DEF=90°，EF交射線BC于點(diǎn)F．設(shè)BE=x，△BED的面積為y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）如果以線段BC為直徑的圓與以線段AE為直徑的圓相切，求線段BE的長；
（3）如果以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△BED相似，求△BED的面積．

Answer 1

解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=6，，
∴BC=8，AB=10，
∴CD=DB=4．
過點(diǎn)E作EH⊥CB于H．
則可求得EH=x．
∴y=×4×x=x（0＜x≤或5＜x≤10）．

（2）取AE的中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OG⊥BC于G，連接OD．
則OG=OB=×=（10+x），GD=CD-CG=4-（10-x）=x，
∴OD=．
若兩圓外切，則可得BC+AE=OD，
∴（BC+AE）²=4OD²，
∴（8+10-x）²=4[（10+x）²+x²]
解得x=．
若兩圓內(nèi)切，得|BC-AE|=OD，
∴（BC-AE）²=4OD²，
∴（8-10+x）²=4[（10+x）²+x²]
解得x=-（舍去），所以兩圓內(nèi)切不存在．
所以，線段BE的長為．

（3）由題意知∠BEF≠90°，故可以分兩種情況．
①當(dāng)∠BEF為銳角時(shí)，
由已知以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△BED相似，又知∠EBF=∠DBE，∠BEF＜∠BED，所以∠BEF=∠BDE．
過點(diǎn)D作DM⊥BA于M，過E作EH⊥BC于H．
根據(jù)等角的余角相等，可證得∠MDE=∠HDE，
∴EM=EH．
又EM=MB-EB=-x，
由（1）知：EH=x，
∴，
∴x=2．
∴y=×2=．
②當(dāng)∠BEF為鈍角時(shí)，同理可求得x-=x，
∴x=8．
∴y=×8=．
所以，△BED的面積是或．
分析：（1）根據(jù)∠B的正切值和AC的值，求出BC的值，也就求出了BD的值，然后求三角形BED的高；根據(jù)BC的長和∠B的正弦值，表示出BD邊上的高，再根據(jù)三角形BED的面積公式得出y，x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）可先表示出AE的長，過AE的中點(diǎn)（設(shè)為O）作BC的垂線OG，可根據(jù)OG，GD的長，來表示出OD，然后根據(jù)兩圓外切和內(nèi)切的不同，讓兩圓的半徑相加或相減后等于圓心距OD，得出關(guān)于x的方程，求出x的解；
（3）若兩三角形相似，則∠BEF=∠BDF．求△BED的面積就需要知道底邊和高，關(guān)鍵是求出BE的長，可通過構(gòu)建相等的線段，來得出關(guān)于x的方程求解．
分別過E，D作EH⊥BC于H，DM⊥AB于M，根據(jù)∠DEM是∠MDE和∠FEB的余角，因此∠MDE=∠FEB=∠FDE．
因此可得出EM=EH，可根據(jù)EM，EH的不同的表示方法，來得出含x的等式，從而求出x的值．
也就可以求出三角形BED的面積了．
∠BEF為銳角和鈍角的不同情況時(shí)，表示線段EM的式子會(huì)略有不同，但是思路是一致的，不要丟掉任何一種情況．
點(diǎn)評：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)、圓與圓的位置關(guān)系以及解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．
注意（2）和（3）中都要分情況進(jìn)行討論：（2）要分兩圓是內(nèi)切還是外切，（3）要分∠BEF時(shí)鈍角還是銳角進(jìn)行分類討論，不要丟掉任何一種情況．