Question

如圖，已知：AB=CD，AD=BC，過BD上一點O的直線分別交DA、BC的延長線于E、F．
（1）求證：∠E=∠F；
（2）OE與OF相等嗎？若相等請證明，若不相等，需添加什么條件就能證得它們相等？請寫出并證明你的想法．

Answer 1

（1）證明：在△ABD和△CDB中
∵AB=CD，AD=BC，BD=DB，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ADB=∠DBC，
∴DE∥BF．
∴∠E=∠F．

（2）答：當O是BD中點時，OE=OF．
證明如下：
∵O是BD中點，
∴OB=OD．
又∵∠ADB=∠DBC，∠E=∠F，
∴△ODE≌△OBF（AAS）．
∴OE=OF．
（當AE=CF時也可證得）
分析：根據(jù)已知利用SSS判定△ABD≌△CDB，從而得到全等三角形的對應角相等，從而得出DE∥BF，根據(jù)內(nèi)錯角相等得出∠E=∠F；再添加O是BD的中點即可證明．
點評：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．