Question

已知：如圖，AB、CD是⊙O的兩條平行切線，A、C是切點(diǎn)，⊙O的另一條切線BD與
AB、CD分別相交于B、D兩點(diǎn)．求證：BO⊥OD．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：如圖，作OE⊥BD于E，根據(jù)切線的性質(zhì)得點(diǎn)E為切點(diǎn)，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到OB平分∠ABE，OD平分∠CDE，則∠1=

1

2

∠ABD，∠2=

1

2

∠CDB，由AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ABD+∠CDB=180°，所以∠1+∠2=90°，則∠BOD=90°，然后根據(jù)垂徑的定義得到結(jié)論．

解答：證明：如圖，作OE⊥BD于E，
∵BD為⊙O的切線，
∴OE為⊙O的半徑，即點(diǎn)E為切點(diǎn)，
∵AB、CD是⊙O的兩條切線，
∴OB平分∠ABE，OD平分∠CDE，
∴∠1=

1

2

∠ABD，∠2=

1

2

∠CDB，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠BOD=90°，
∴BO⊥OD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了切線長(zhǎng)定理．