Question

如圖．P是等邊△ABC邊AB上任一點(diǎn)，AB=2，PE⊥BC于E，EF⊥AC于F，F(xiàn)M⊥AB于M，設(shè)BP=x（x＞0）．
（1）用含x的代數(shù)式表示AM；
（2）當(dāng)x等于多少時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)M重合？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC=AC=2，∠B=∠C=∠A=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BPE=∠FEC=∠AFM=30°，推出BE=

1

2

BP，CF=

1

2

CE，AM=

1

2

AF，代入求出即可；
（2）當(dāng)P和M重合時(shí)得出方程x+

1

2

+

1

8

x=2，求出方程的解即可．

解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=2，∠B=∠C=∠A=60°，
∵PE⊥BC，EF⊥AC，F(xiàn)M⊥AB，
∴∠PEB=∠EFC=∠FMA=90°，
∴由三角形內(nèi)角和定理得：∠BPE=∠FEC=∠AFM=30°，
∵BE=

1

2

BP，CF=

1

2

CE，AM=

1

2

AF，
∵BP=x，AB=BC=AC=2，
∴BE=

1

2

x，CE=2-

1

2

x，CF=

1

2

CE=1-

1

4

x，AF=2-CF=2-（1-

1

4

x）=1+

1

4

x，
∴AM=

1

2

AF=

1

2

+

1

8

x．

（2）當(dāng)P和M重合時(shí)，AM+PB=AB=2，
即x+

1

2

+

1

8

x=2，
x=

4

3

，
即當(dāng)x=

4

3

時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)M重合．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是用x把各個(gè)線段表示出來．