Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx+b與x軸交于點(diǎn)A（5，0），與y軸交于點(diǎn)B；直線y═x+6過點(diǎn)B和點(diǎn)C，且AC⊥x軸．點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿y軸向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），連接MN．

（1）求直線y＝kx+b的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)MN∥x軸時(shí)，求t的值；

（3）MN與AB交于點(diǎn)D，連接CD，在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過程中，線段CD的長(zhǎng)度是否變化？如果變化，請(qǐng)直接寫出線段CD長(zhǎng)度變化的范圍；如果不變化，請(qǐng)直接寫出線段CD的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+6，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，10）；（2）t＝；（3）線段CD的長(zhǎng)度不變化，CD＝．理由見解析

【解析】

（1）先求出點(diǎn)C和點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法，即可求得答案；

（2）分別用含t的代數(shù)式表示OM和AN的長(zhǎng)，列出關(guān)于t的方程，即可求解；

（3）過點(diǎn)D作EF∥x軸，交OB于E，交AC于F，由△BDM∽△ADN，得，從而得DF的長(zhǎng)，由△BDE∽△ADF，得EO＝FA＝，從而得CF的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求解．

（1）∵AC⊥x軸，點(diǎn)A（5，0），

∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5，

對(duì)于y═x+6，當(dāng)x＝5時(shí)，y＝×5+6＝10，

對(duì)于x＝0，y＝6，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，10），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，6），

∵直線y＝kx+b與x軸交于點(diǎn)A（5，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，6），

∴，解得，，

∴直線y＝kx+b的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x+6，

綜上所述，直線y＝kx+b的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+6，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，10）；

（2）由題意得，BM＝2t，AN＝3t，

∴OM＝6﹣2t，

∵當(dāng)OM＝AN時(shí)，OM∥AN，

∴四邊形EOAF為平行四邊形，

∴MN∥x軸，

∴6﹣2t＝3t，

解得，t＝，

∴當(dāng)MN∥x軸時(shí)，t＝；

（3）線段CD的長(zhǎng)度不變化，理由如下：

過點(diǎn)D作EF∥x軸，交OB于E，交AC于F，

∵EF∥x軸，BM∥AN，∠AOE＝90°，

∴四邊形EOAF為矩形，

∴EF＝OA＝5，EO＝FA，

∵BM∥AN，

∴△BDM∽△ADN，

∴

∵EF＝5，

∴DE＝2，DF＝3，

∵BM∥AN，

∴△BDE∽△ADF，

∴，

∴，

∵OB＝6，

∴EO＝FA＝，

∴CF＝AC﹣FA＝，

∴CD＝＝．